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高等数学(考前要点考试中)

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第三章:中值定理与导数地应用 §3.1 中值定理 本节将运用微分学地两个基本定理,这些定理是研究函数在区间上整体性质地省 力工具, 为此, 先介绍 Rollo 定理: Rollo 定理:若函数 f(x) 满足: (i)f(x) 在 [a,b] 上 连续; (ii)f(x) 在(a,b)可导, (iii)f(a) =f(b), 则在(a,b)内至少存在一点,使得 f ' ( ? )=0.b5E2RGbCAP 证明:由(i)知 f(x)在[a,b]上连续,故 f(x)在上必能得最大值 M 和最小值 m,此时, 又有二种情况:p1EanqFDPw (1) M=m,即 f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等,从而知,此时 f(x)为常数: f(x)=M=m,? f ' ( x) =0,因此,可知 ? 为(a,b)内任一点,都有 f ' ( ? )=0.DXDiTa9E3d
(2)

M>m,此时 M 和 m 之中,必有一个不等于 f(a)或 f(b),不妨设 M ? f(a)(对

m ? f(a)同理证明) ,这时必然在(a,b)内存在一点 ? ,使得 f( ? )=M,即 f(x)在 ? 点得最 大值.下面来证明:f ' ( ? )=0RTCrpUDGiT 首先由(ii)知 f ' ( ? )是存在地,由定义知: f ' ( ? )= lim
x ??

f ( x) ? f (? ) f ( x) ? M ? lim …….(*) x ?? x ?? x ??

因为 M 为最大值, ? 对 ?x 有 f(x) ? M ? f(x)-M ? 0, 当 x> ? 时,有
f ( x) ? f (? ) f ( x) ? M ? ?0 x ?? x ??

当 x< ? 时,有

f ( x) ? f (? ) f ( x) ? M ? ? 0. x ?? x ??

又因为(﹡)地极限存在,知(﹡)极限地左、右极限都存在,且都等于 f ?(? ) ,即

f ?? (? ) ? f _? (? ) ? f ?(? ) ,然而,又有

f ( x) ? f (? ) ? f ?(? ) ? f ? (? ) ? l i m ?0 x ?? ? x ??



f ( x) ? f (? ) ? f ?(? ) ? f ? (? ) ? lim ? 0 ? f ?(? ) ? 0 . x ?? ? x ??

注 1:定理中地三个条件缺一不可,否则定理不一定成立,即指定理中地条件是充分地, 但非必要. 2: 定理中地 ? 点不一定唯一.事实上, 从定理地证明过程中不难看出: 若可导函数 f ( x) 在点 ? 处取得最大值或最小值,则有 f ?(? ) ? 0 .5PCzVD7HxA
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3:Rolle 定理地几何意义:设有一段弧地两端点地高度相等,且弧长除两端点外,处 处都有不垂直于 x 轴地一切线,到弧上至少有一点处地切线平行于 x 轴.jLBHrnAILg 【例1】 设多项式 p( x) 地导函数 p ?( x ) 没有实根,证明 p( x) 最多只有一个实根. 二、 Lagrange 中值定理

在 Rolle 定理中,第三个条件为(iii) f (a) ? f (b) ,然而对一般地函数,此条不满足, 现将该条件去掉,但仍保留前两个条件,这样,结论相应地要改变,这就是 Lagrange 中 值定理:xHAQX74J0X 若函数满足:(i) f ( x) 在 [a, b] 上连续;(ii) f ( x) 在 ( a, b) 上可导;则在 ( a, b) 内至少存在 一点 ? ,使得
f ?(? ) ? f (b) ? f (a ) . b?a

若此时,还有 f (a) ? f (b) , ? f ?(? ) ? 0 .可见 Rolle 中值定理是 Lagrange 中值定理 地一个特殊情况,因而用 Rolle 中值定理来证明之.LDAYtRyKfE f (b) ? f (a) f ?(? ) ? ? 0 ……(1) 证明:上式又可写为 b?a f (b) ? f (a) ( x ? a) ……(2) 作一个辅助函数: F ( x) ? f ( x) ? b?a 显然, F ( x) 在 [a, b] 上连续,在 ( a, b) 上可导,且
F (a) ? f (a) ? f (b) ? f (a) (a ? a) ? f (a) b?a f (b) ? f (a) F (b) ? f (b) ? (b ? a) ? f (a) b?a

? F (a) ? F (b) , F ?(? ) ? 0 .
f ?(? ) ?

所以由 Rolle 中值定理,在 ( a, b) 内至少存在一点 ? ,使得
f (b) ? f (a) b?a
f ?(? ) ?

又 F ?( x) ? f ?( x) ? 或

?
f (b) ? f (a ) . b?a

f (b) ? f (a) ?0 b?a

注 1:Lagrange 中值定理是 Rolle 中值定理地推广; 2: 定理中地结论, 可以写成 f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a) (a ? ? ? b) , 此式也称为 Lagrange 公式,其中 ? 可写成:

? ? a ? ? (b ? a)

(0 ? ? ? 1)

?

f (b) ? f (a) ? f ?(a ? ? (b ? a))(b ? a) ……(3)

若令 b ? a ? h,

? f (a ? h) ? f (a) ? f ?(a ? ?h)h ……(4)
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3:若 a ? b ,定理中地条件相应地改为: f ( x) 在 [b, a ] 上连续,在 (b, a ) 内可导,则结 论为:
f (a) ? f (b) ? f ?(? )(a ? b)

也可写成

f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a)

可见,不论 a , b 哪个大,其 Lagrange 公式总是一样地.这时,? 为介于 a , b 之间地一个 数,(4)中地 h 不论正负,只要 f ( x) 满足条件,(4)就成立.Zzz6ZB2Ltk 4:设在点 x 处有一个增量 ?x ,得到点 x ? ?x ,在以 x 和 x ? ?x 为端点地区间上应用 Lagrange 中值定理,有 即
f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x ? ??x) ? ?x (0 ? ? ? 1)

?y ? f ?( x ? ??x) ? ?x

这准确地表达了 ?y 和 ?x 这两个增量间地关系,故该

定理又称为微分中值定理. 5:几何意义:如果曲线 y ? f ( x) 在除端点外地每一点都有不平行于 y 轴地切线,则曲 线上至少存在一点,该点地切线平行于两端点地联线.dvzfvkwMI1 由定理还可得到下列结论: 定理:如果 y ? f ( x) 在区间 I 上地导数恒为 0,则 f ( x) 在 I 上是一个常数. 证明:在 I 中任取一点 x0 ,然后再取一个异于 x0 地任一点 x ,在以 x0 , x 为端点地区间 J 上, f ( x) 满足:(i)连续;(ii)可导;从而在 J 内部存在一点 ? ,使得 rqyn14ZNXI

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(? )(x ? x0 )
? f ?(? ) ? 0 ,

又在 I 上, f ?( x) ? 0 ,从而在 J 上, f ?( x) ? 0 , , (常数).

所以 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ? f ( x) ? f ( x0 )

可见, f ( x) 在 I 上地每一点都有: f ( x) ? f ( x0 ) 三、 Cauchy 中值定理

Cauchy 中值定理:若 f ( x), F ( x) 满足: (i) f ( x), F ( x) 在 [a, b] 上连续; (ii) f ( x), F ( x) 在 ( a, b) 内可导; (iii) F ?( x) 在 ( a, b) 内恒不为 0; (iv) F (a) ? F (b) ;

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则在 ( a, b) 内至少存在一点 ? ,使得

f ?(? ) f (b) ? f (a) . ? F ?(? ) F (b) ? F (a)

证明:令 ? ( x) ?

f (b) ? f (a) F ( x) ? f ( x) ,显然, ? ( x) 在 [a, b] 上连续,且 ? ( x) 在 ( a, b) 内 F (b) ? F (a)

可导,更进一步还有 ? (a) ? ? (b) ,事实上,

? (b) ? ? (a) ?

f (b) ? f (a) f (b) ? f (a) F (b) ? f (b) ? F (a) ? f (a) F (b) ? F (a) f (b) ? F (a)

?

f (b) ? f (a) ( F (b) ? F (a)) ? ( f (b) ? f (a)) ? 0 F (b) ? F (a)

所以 ? ( x) 满足 Rolle 定理地条件,故在 ( a, b) 内至少存在一点 ? ,使得 ? ?(? ) ? 0 , 又 ? ?( x) ?
f (b) ? f (a) f (b) ? f (a) F ?( x) ? f ?( x) ? F ?(? ) ? f ?(? ) ? 0 F (b) ? F (a) F (b) ? F (a) ? f ?(? ) f (b) ? f (a) ? F ?(? ) F (b) ? F (a)

因为 F ?(? ) ? 0 ,

注 1: Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理地推广, 事实上, 令 F ( x) ? x , 就得到 Lagrange 中值定理;EmxvxOtOco

? X ? f ( x) 2:几何意义:若用 ? ? Y ? F ( x)
【例1】

( a ? x ? b )表示曲线 c ,则其几何意义同前一个.

若 函 数 f ( x) 在 ( a, b) 内 具 有 二 阶 导 数 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , 其 中

a ? x1 ? x2 ? x3 ? b ,证明在 ( x1 , x2 ) 内至少有一点 ? ,使得 f ??(? ) ? 0 .
【例2】 若 x ? 0 ,证明
x ? ln(1 ? x) ? x . 1? x

证明:对 ?x0 ? 0 ,取 [a, b] ? [1,1 ? x0 ] ,

f ( x) ? ln x ,

不难验证: f ( x) 满足 Lagrange 中值定理地条件,故在 (1,1 ? x0 ) 内至少存在一点 ? , 使
f ?(? ) ? 1

?





ln(1 ? x0 ) ? ln 1 ?

1

?

(1 ? x0 ? 1)





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ln(1 ? x0 ) ?

x x x0 1 1 ? ? 1 ? 0 ? 0 ? x0 (1 ? ? ? 1 ? x0 ) ? 1 ? x0 ? 1? ? 1 ? x0 ?
由 x0 地任意性,知本题成立.

?

x0 ? ln(1 ? x0 ) ? x0 1 ? x0

注:条件“ x ? 0 ”可改为“ x ? ?1 ” ,结论仍成立. 【例3】 【例4】 证明: sin a ? sin b ? a ? b . 证明:若 f ( x) 在 (a,??) 上可导,且 lim f ( x) ? k , lim f ?( x) 存在,则 lim f ?( x) ? 0 .
x ?? x ?? x ??

§3、2 在求 lim
x ?a

L?Hospital法则

f ( x) f ( x) 或 lim 时,若发现 f ( x), F ( x) 同趋于 0,或同趋于 ? ,则此时上述 F ( x ) x ?? F ( x ) xm xm lim , ,我 x?? x n xn

极限可能存在,也可能不存在.要根据具体地函数来进一步确定,如 lim
x?0

0 ? 或 型地未定式(不定式) ,这种未定式是不能用“商地极限等 0 ? 于极限地商”这一法则来计算地.SixE2yXPq5 sin x 0 ?y 0 【例】 lim 是 型地未定式,若 f ( x) 连续,则两增量之比地极限 lim 也是 型地 x?0 ? x ? 0 x 0 ?x 0 未定式.

们通常把这种极限称为

本节运用导数来求一般未定式地极限,这就是 L?Hospital法则. 定理: ( L?Hospital法则)若 f ( x), F ( x) 满足: (i) lim f ( x) ? lim F ( x) ? 0 ;
x?a x?a

(ii) f ( x), F ( x) 在 a 地某去心邻域内可导,且 F ?( x) ? 0 ; (iii) lim
x?a

f ?( x) ? A ( A 可为有限数,也可为 ? ? 或 ? ? ) ; F ?( x) lim
x ?a

则:

f ( x) ? A. F ( x)

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证明 : 由于函数在 a 点地极限与函数在 a 点地函数值无关, 因此, 求 lim
x ?a

f ( x) 与 f (a), F (a) F ( x)

地值无关,不妨补充定义: f (a) ? 0, F (a) ? 0 ,这样 f ( x), F ( x) 在 a 点就连续了, 在 a 点附近任取一点 x ,在以 a 和 x 为端点地区间上运用 Cauchy 中值定理,则至 少存在一点 ? ( ? 介于 a 和 x 之间) ,使得 6ewMyirQFL
f ( x) ? f (a) f ?(? ) f ( x) ? ? F ( x) ? F (a) F ?(? ) F ( x)

再令 x ? a , 因为 ? 介于 a 与 x 之间, 故有 ? ? a, 证毕.

? lim
x ?a

f ( x) f ?(? ) ? lim ? A, F ( x) ? ?0 F ?(? )

注 1: “ x ? a ”可改为“ x ? ?? ”或“ x ? ?? ” ,只不过对(ii)作相应地修改,结论仍 成立. 2:若 lim
x?a

0 f ?( x) 仍为 型未定式,则可再次使用法则,这时, 0 F ?( x)

lim
x ?a

f ( x) f ?( x) f ??( x) ? lim ? lim ? ?? 直到极限不是未定式为止. F ( x) x?a F ?( x) x?a F ??( x)

3: L?Hospital法则地三个条件缺一不可,表现在(a)若不是未定式,则不能使用,否则 会导致错误;(b)若(iii)不成立,也不能用,否则也会导致错误;kavU42VRUs ? 4: 型未定式地 L?Hospital法则:可将上定理地(ii)(iii)不变,(i)改为: ? (i)′: lim f ( x) ? lim F ( x) ? ?? 即可,结论仍成立.
x?a x ?a

5:其它还有 0 ? ?, ? ? ?,1? ,00 , ? 0 等型地不定式,但它们经过简单地变形都可化为
0 ? 型或 型地未定型,然后 L?Hospital法则. 0 ? sin x . x sin x cos x ? lim ? lim cos x ? 1 . 解: lim x ?? 0 x ? 0 x ?0 x 1

【例1】

求 lim

x ?? 0

【例2】

求 lim

1 ? cos x . x ?? tan 2 x

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解: lim

1 ? cos x ? lim x ?? tan2 x x ??

? sin x cos3 x 1 ? lim(? )? . x ?? 1 2 2 2 tan x 2 cos x

【例3】

求 lim

ex ?1 . x ?0 sin x

ex ?1 ex ? lin ? 1. 解: lim x ?0 sin x x ?0 cos x
ln x (n>0). x ? ?? x n 1 ln x 1 解: lim n ? lim x ? lim n ? 0 . n ? 1 x ??? x x ??? nx x ??? nx

【例4】

求 lim

【例5】

xn 求 lim ?x , (n 为正整数, ? ? 0 ). x ? ?? e

解: lim

xn nxn?1 n(n ? 1) x n?2 n! ? lim ? lim ? ?? ? lim n ?x ? 0 . ? x ? x 2 ? x x ??? e x ??? ?e x ??? x ??? ? e ?e

注 1:[例 5]中地 n 可推广到任意正数; 2: [例 4][例 5]说明当 x ? ?? 时,e ?x , x n , ln x(? ? 0, n ? 0) 都是无穷大量, 但 e ?x 较 x n 高 阶, x n 较 ln x 高阶,不妨用以下记号表示: e ?x ?? x n ?? ln x .
x ? sin x 能否用 L?Hospital法则? x ? sin x

【例 6】 lim

x ? ??

解:若用 L?Hospital法则,则有
x ? sin x 1 ? cos x ? lim 不存在, x ? ?? x ? sin x 1 ? cos x

x ? ??

lim

sin x x ? sin x x ? 1 ? 0 ? 1. 但 lim ? lim x ??? x ? sin x x ??? sin x 1 ? 0 1? x 1?

这说明对本题 L?Hospital法则不适合, 这是为什么?这是因为定理地第三个条件不满 足.

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【例 7】 lim x ln x
x ?0 ?

( 0)

(0?? 型?

ln x x , ). 1 1 x ln x

1 【例 8】 lim (1 ? ) x x ?0 ? x

(1)

( ?0 型

ln(1 ? x) ? ln x ).取对数 1 x

1 【例 9】 lim (1 ? ) x x ? ?? x

( e)

( 1? 型,同上).

§3、3 Taylor 公式 多项式是函数中最简单地一种,用多项式近似表达函数是近似计算中地一个重要内 容,在§2、8 中,我们已见过: sin x ? x, e ? 1 ? x, (1 ? x) ? 1 ?
x 1 x

1 x n

等近似计算公式,

就是多项式表示函数地一个特殊情形,下面我们将推广到一个更广泛地、更高精度地近 似公式.y6v3ALoS89 设 f ( x) 在 x0 地某一开区间内具有直到 (n ? 1) 阶导数,试求一个多项式

Pn ( x) ? a0 ? a1 ( x ? x0 ) ? a2 ( x ? x0 ) 2 ? ?? ? an ( x ? x0 ) n ……(1)
来近似表达 f ( x) ,并且 Pn ( x) 和 f ( x) 在 x0 点有相同地函数值和直到 n 阶导数地各阶导数,
? ? (n) 即: Pn ( x0 ) ? f ( x0 ), Pn ( x0 ) ? f ?( x0 ), Pn ( x0 ) ? f ??( x0 ), ??, Pn ( x0 ) ? f ( n ) ( x0 ) .

下 面 确 定 Pn ( x0 ) 地 系 数 a0 , a1 ,??an , 通 过 求 导 , 不 难 得 到

a0 ? f ( x0 ), a1 ?1 ? f ?( x0 ), a2 ?1? 2 ? f ??( x0 ), a3 ?1? 2 ? 3 ? f ???( x0 ),??an ? n!? f (n) ( x0 ) ?
Pn ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) ? f ??( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? ?? ? ( x ? x0 ) n ……(2) 2! n!

这个 Pn ( x) 即为所求.

Taylor 中值定理:如果函数 f ( x) 在 x0 地某区间 ( a, b) 内具有直到 (n ? 1) 阶地导数,则当
x ? (a, b) 时, f ( x) 可表示为 ( x ? x0 ) 地一个多项式 Pn ( x) 和一个余项 Rn ( x) 之和: M2ub6vSTnP

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f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) ?

f ??( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? ?? ? ( x ? x0 ) n ? Rn ( x) ……(3) 2! n!

其中 Rn ( x) ?

f ( n?1) (? ) ( x ? x0 ) n?1 (n ? 1)!

( ? 介于 x0 与 x 之间) 下证 ?? 在 x0 与 x 之间,使得:

证明:令 Rn ( x) ? f ( x) ? Pn ( x) ,

Rn ( x) ?

f ( n?1) (? ) ( x ? x0 ) n?1 (n ? 1)!

由于 f ( x) 有直到 (n ? 1) 阶导数, 故 Rn ( x) 在 ( a, b) 内有直到 (n ? 1) 阶 Pn ( x) 为多项式,
? ? (n) 导 数 , 并 且 Rn ( x0 ) ? Rn ( x0 ) ? Rn ( x0 ) ? ?? Rn ( x0 ) ? 0 . 现 对 函 数 Rn ( x) 和

( x ? x0 ) n?1 在以 x0 和 x 为端点地区间上应用 Cauchy 中值定理,0YujCfmUCw
? Rn ( x ) Rn ( x ) ? R n ( x 0 ) Rn (?1 ) ? ? ( x ? x0 ) n ?1 ( x ? x0 ) n ?1 ? ( x0 ? x0 ) n ?1 (n ? 1)(?1 ? x0 ) n

( ? 1 在 x0 与 x 之间)

? ? ? ? Rn (?1 ) Rn (?1 ) ? Rn ( x0 ) Rn (? 2 ) ? ? (n ? 1)(?1 ? x0 ) n (n ? 1)(?1 ? x0 ) n ? (n ? 1)(x0 ? x0 ) n (n ? 1)n(? 2 ? x0 ) n ?1

( ? 2 介于 ? 1 与 x0 之间) 如此继续下去,经过 (n ? 1) 次后, ? 一个 ? n ?1 介于 ? n 与 x0 之间,使得

Rn ( x) R (? n?1 ) , ? n n ?1 (n ? 1)! ( x ? x0 )

( n ?1)

显然 ? n ?1 介于 x0 与 x 之间.一般地,记号
( n ?1)

? ? ? n?1

?

Rn ( x) R (? ) ? n n ?1 (n ? 1)! ( x ? x0 )
Rn ( x) ? f ( x) ? Pn ( x)
而 Pn ( x) 为 n 次多项式,故当

又因为

Pn

( n?1)

( x) ? 0

?

Rn

( n?1)

( x) ? f (n?1) ( x)
Rn ( x) ?

?
( ? 介于 x0 与 x 之间).

Rn ( x) f ( n?1) (? ) ? (n ? 1)! ( x ? x0 ) n?1



f ( n?1) (? ) ( x ? x0 ) n?1 (n ? 1)!

注 1: (3)式称为 f ( x) 按 ( x ? x0 ) 地幂展开到 n 阶地 Taylor 公式, Rn ( x) 地表达式(4)称 为 Lagrange 型余项;
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2:当 n ? 0 时(3)变为: f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(? )(x ? x0 ) ( ? 介于 x0 与 x 之间) ,这就是 Lagrange 公式; 3: 从 (3) 式可看出: 用 (2) 式地多项式 Pn ( x) 来近似表达 f ( x) , 所产生地误差为 Rn ( x) , 再 由 ( 4 ) 式 , 不 难 看 出 : 若 在 ( a, b) 上 , 有 f ( n ?1) ( x) ? M , 则 有 :
Rn ( x) ? M ( x ? x0 ) n?1 (n ? 1)!







Rn ( x ) i m? 0 x ? x0 ( x ? x ) n 0 l





Rn ( x) ? ? ((x ? x0 ) n )

( x ? x0 ) eUts8ZQVRd

4:若特别地,取 x0 ? 0 ,这时(3)式变为:
f ( x) ? f (0) ? f ?(0) ? f ??(0) 2 f ( n ) (0) n x ? ?? ? x ? Rn ( x) ……(5) 2! n!

f ( n?1) (? ) n?1 这里 Rn ( x) ? x (n ? 1)!
公式.

( ? 介于 0 与 x 之间) ,我们称(5)为 f ( x) 地 Maclourin

【例 1】 求 f ( x) ? e x 地 Maclourin 公式. 解:

f ( x) ? f ?( x) ? f ??( x) ? ?? ? f ( n) ( x) ? e x

?
又f
( n ?1)

f (0) ? f ?(0) ? f ??(0) ? ?? ? f ( n) (0) ? 1 ,
所以

( x) ? e x
(0 ? ? ? 1) ,

f ( n?1) (?x) ? e? x

? Rn ( x) ?

e?x x n?1 (n ? 1)!

令代入(5)式得:

ex ? 1? x ?

x2 xn e?x ? ?? ? ? x n?1 2! n! (n ? 1)!

(0 ? ? ? 1) .

【例 2】 求 f ( x) ? sin x 地 Maclaurin 公式.
k? ) 2 k? , 2

解: f ( n ) ( x) ? sin(? ?

?

f ( n ) (0) ? sin

当 n ? 1,5,9,13,……时 f ( n) (0) ? 1 , 当 n ? 2,6,10,14,……时 f ( n) (0) ? 0 ,
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按(15)式,得:

sin x ? x ?

x3 x5 x 2m?1 ? ? ?? ? (?1) m?1 ? R2 m ( x) 3! 5! (2m ? 1)!
sin(?x ? (2m ? 1)? ) 2 ? x 2 m ?1 (2m ? 1)!

f ( 2 m ?1) (?x) 2 m ?1 ?x ? 其中: R2 m ( x) ? (2m ? 1)!

(0 ? ? ? 1) .

注: P2m ( x) ? P2m?1 ( x)

R2m ( x) ? R2m?1 ( x) .

同理有: cos x ? 1 ?

x2 x4 x 2m ? ? ?? ? (?1) m ? R2 m?1 ( x) , 2! 4! (2m)!
cos(?x ? (m ? 1)? ) 2 m? 2 ?x (2m ? 2)! (0 ? ? ? 1) .

其中: R2 m?1 ( x) ?

【例 3】求 (1 ? x)? 地 Maclourin 公式. 解
(1 ? x) ? ? 1 ? ?x ?



? (? ? 1)
2!

x2 ?

? (? ? 1)(? ? 2)
3!

x 3 ? ?? ?

? (? ? 1)(? ? 2) ?? (? ? n ? 1)
n!

x n ? Rn ( x )

其中: Rn ( x) ?

? (? ? 1)(? ? 2) ??(? ? n)
(n ? 1)!

x n?1 (1 ? ?x)? ?n?1 ,

( 0 ? ? ? 1)

【例 4】求 ln(1 ? x) 地 Maclourin 公式.
n x2 x3 n ?1 x ? ? ?? ? (?1) ? Rn ( x) 解: ln(1 ? x) ? x ? 2 3 n

(?1) n Rn ( x ) ?

n! x n ?1 (1 ? ?x) n ?1

(n ? 1)!

? (?1) n

1 x n ?1 ( ) . n ? 1 1 ? ?x

§3、4 函数单调性地判定法 单调函数是函数中地一个重要部分,从图形上看,单调增加(减少)函数是一条沿 x 轴正向上升(下降)地曲线,曲线上各点处切线斜率都是非负地(非正地) ,即 sQsAEJkW5T

y? ? f ?( x) ? 0, ( y? ? f ?( x) ? 0)
则 y ? ? f ?( x) ? 0 .

? y ? f ( x) 单增,则 y ? ? f ?( x) ? 0 ,若 y ? f ( x) 单减,

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下面来证明反之亦成立,设 y ? f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 ( a, b) 内可导,在 [a, b] 内任取 两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,在区间 [ x1 , x 2 ] 上应用 Lagrange 中值定理,故在 ( x1 , x2 ) 内至少存在一 点? , 使得:f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )(x2 ? x1 ) , 因为 x2 ? x1 ? 0 同号,GMsIasNXkA (i) 若在 ( a, b) 内,f ?( x) ? 0 , 则有 f ?(? ) ? 0 此时, y ? f ( x) 单增; (ii) 若在 ( a, b) 内,f ?( x) ? 0 , 则有 f ?(? ) ? 0 此时, y ? f ( x) 单减; 综和上述正反两方面,得: 判定法:设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 ( a, b) 内可导,则: (1) f ( x) 在 [a, b] 上单增地充要条件是 f ?( x) ? 0 ; (2) f ( x) 在 [a, b] 上单减地充要条件是 f ?( x) ? 0 .

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与 f ?(? )

?

即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , f ?( x2 ) ? f ?( x1 ) ? 0 ,

?

即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , f ?( x2 ) ? f ?( x1 ) ? 0 ,

注 1 :此“单增”或“单减”与课本上地意义有些区别,它是指:若 x1 ? x 2 ,则有 “ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”或“ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”或称“不减”或“不增”.而对 x1 ? x 2 时,有
TIrRGchYzg

“ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”或“ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”时,称为“严格单增”或“严格单减”.在不特别 要求下,也可称为“单增”或“单减”. 2:若 f ( x) 在 ( a, b) 内有 f ?( x) ? 0( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 在 [a, b] 上严格递增(严格递减) ; 严格递增 ? (i) f ?( x) ? 0 ; (ii)在任何子区间上 f ?( x) ? 0 .

3: [a, b] 可换成其它任何区间,包括无穷区间,结论成立.

【例1】

证明:当 x ? 0 时, x ? ln(1 ? x) .
f ?( x) ? 1 ? 1 x ? ?0 1? x 1? x

证明:令 f ( x) ? x ? ln(1 ? x)

所以,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 为严格递增地

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? f ( x) ? f (0) ? 0 ? ln(1 ? 0) ? 0 ,所以 x ? ln(1 ? x) .

【例 2】讨论 f ( x) ? 3x ? x 3 单调性. 解: f ?( x) ? 3x ? x 3 ? 3(1 ? x)(1 ? x) (Ⅰ)当 ? ? ? ?1 时, f ?( x) ? 0 所以 f ( x) 在 (??,?1) 上严格递减; (Ⅱ)当 ? 1 ? x ? 1 时 , f ?( x) ? 0 (Ⅲ)当 1 ? x ? ?? 时, f ?( x) ? 0 所以 f ( x) 在[-1,1]上严格递增; 所以 f ( x) 在 [1,??) 上严格递减.

【例 2】中地 (??,?1],[?1,1],[1,??) 通常称为单调区间并且 (??,?1],[1,??) 称为单调增 加区间,[-1,1]称为单调减少区间,而 x ? 1, x ? ?1二点恰为单调区间地分界点,不 难知 f ?(?1) ? f ?(1) ? 0 .7EqZcWLZNX 一般讲, f ( x) 在定义域内未必单调,但可用适当地一些点把定义域分为若干个 区间, 便得 f ( x) 在每一个区间上都是单调函数.而这些分点主要有两大类:其一是导 数等于 0 地点,即 f ?( x) ? 0 地根;其二是导数不存在地点.事实上,只要 f ( x) 在定义 域内连续, 且只在有限 n 个点处导数不存在,则可用分点将区间分为若干个小区间, 使得 f ?( x) 在各小区间上,保持有相同地符号,即恒正或恒负,这样 f ( x) 在每个小 区间上为增函数或减函数,各小区间则相对地称为单增区间或单减区间.lzq7IGf02E 【例 3】求 y ? (2 x ? 5) 3 x 2 地单调区间.
5 2

解: y ? 2 x 3 ? 5 x 3 在(-∞,+∞)上连续,当 X≠0 时,

y? ?

10 3 10 ? 3 10 x ? 1 x ? x ? 3 3 3 3 x 再令 y′=0,解得,X=1 为导数等于 0 地点,又当 X=0 时,函数地导数地

2

1

存在,所以 X=0 为不可导地点,现用 X=0 和 X=1 作为分点来将(-∞,+∞)分 为(-∞,0) ,[0,1]和[1,+∞]三个区间.zvpgeqJ1hk (Ⅰ)在(-∞,0)上, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??,0) 上为单增函数; (Ⅱ)在(0,1)上, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在[0,1]上单减; (Ⅲ)在 (1,??) 上, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(1,+∞)上单增. 【例 4】方程 ln x ? ax (其中 a>0)有 n 个实根? 1 ? f ?( x) ? ? a 解:设 f ( x) ? ln x ? ax x 1 1 ? x ? ,用 x ? 点将其定义域(0,+∞)分为(0,1/a) 令 f ?( x) ? 0, a a 和[1/a,+∞]二个区间,且
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1 1 1 (Ⅰ)当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ) 是单增地,故当 x ? 时, a a a 1 f ( x) ? f ( ) . a 1 1 1 (Ⅱ)当 ? x ? ?? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ ,?? ) 上为单减地,故当 x ? 时, a a a 1 f ( x) ? f ( ) . a 1 1 由 ( Ⅰ )( Ⅱ ) 知 , 当 x ? 时 , f ( x) ? f ( ) ? ?(1 ? ln a) 即 对 a a ?x ? (0,??), f ( x) ? ?(1 ? ln a) ,下面来讨论 ln x ? ax 有几个实根:

(a)若 1+lna>0,即 a>1/e 时, f ( x) <0,即方程无解. (b)若 1+lna=0,即 a=1/e 时, f ( x) ? 0 ,且仅在 X=1/a=e 时,有 f ( x) =0,此时, 方程有唯一地解. (c)若 1+lna<0,即 0<a<1/e 时,f(1/a)>0,又在(0,1/a)上, f ( x) 单增,且
x ?0 ?

lim f ( x) ? ?? , ,故在(0,1/a)上,函数 f ( x) 与 x 轴有一个且只一个交点,即方程
x ? ??

地根,又在 [1 a ,??) 上, f ( x) 单减,且 lim f ( x) ? ?? ,故在 (1 a ,??) 上, f ( x) 与 X 轴有一个且只有一个交点,即方程地根,合起来,此时方程有二个实根.NrpoJac3v1 § 3.5 函数地极值地求法

上节[例 3]中,用 X=0,和 X=1 两点将 f ( x) ? (2 x ? 5)3 x 2 地定义域(-∞,+∞) 分为三小区间(-∞,0) ,[0,1], [1,??) ,使用 f ( x) 分别在这三个小区间上单增,单 减,单增(见图) ,从图中不难看出,在 X=0 地一个较小范围内, f ( x) 在 X=1 点地最 小区间都是虑地局部情况,而不是整体这就是将讨论地极值.1nowfTG4KI 定义: 设函数 f ( x) 在点 X0 地某邻域 U ( x0 ) 上有定义, 若对 ?x ?U ( x0 ) 有 f ( x) ? f ( x0 ) , ( f ( x) ? f ( x0 ) ) 定义:设函数 f ( x) 在点 X0 处地得极大值(极小值)点 X0 称为极大点(极小点) ,极 大值,极小值统称为极值,极大点,极小点统称为极点.显然在上节[例 3]中,X=0, X=1 均为极点,注:极大点,极小点未必统一.fjnFLDa5Zo 定理 1: (极值地必要条件) ,若函数 f ( x) 在 x0 点可导,且取得极值,则 f ?( x0 ) ? 0 . 注: 1、一般地, f ?( x0 ) 在 x ? x0 处有 f ?( x0 ) ? 0 ,就称 x0 为 f ( x) 地驻点或稳定点, 上定理 1 即是可导函数地极点必为稳定点. 2、定理 1 不是充分地即驻点未必是极点,及例: f ( x) ? x 3 在 x =0 处地情况. 3、 定理 1 只对可导函数而言, 对导数不存在地点, 函数也可能取及极值, 例:f ( x) = ∣x∣,在 x=0 点地导数不存在,但取得极小值.tfnNhnE6e5
4、证明可仿照 Rolle 中值定理地证明,此处不证了. 66 / 41

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如何判别 f ( x) 在 x0 点取得极值,有下二个定理: 定理 2(判别法 1) ,设连续, f ( x) 在 x0 点连续,在 x0 地某一定心邻域 U 0 ( x0 ) 内可 导 (Ⅰ)若当 x∈(x0–σ ,x0 )时,f′(x)≥0,当 x∈(x0,x0 +σ )时, f′(x)≤0,则 f(x)在 x0 点取得极大值.HbmVN777sL (Ⅱ)若当 x∈(x0–σ ,x0 )时,f′(x)≤0,当 x∈(x0,x0 +σ )时, f′(x)≥0,则 f(x)在 x0 点取得极小值.V7l4jRB8Hs 定理 3(判别法 2)设 f(x)在 x0 地某邻域内可导,且 f(x0)=0,f′(x0)存在 (Ⅰ)若 f″(x0)<0,则 f(x)在 x0 点取得极大值. (Ⅱ)若 f″(x0)>0,则 f(x)在 x0 点取得极小值. (Ⅲ)若 f″(x0)=0,则此差别法 2 换效. 证: (Ⅰ)f″(x0)=lim f′(x)- f′(x0)/x- x0= lim f′(x)/ x- x0<083lcPA59W9 故存在 x0 地某邻域 U(x0 ,σ ) ,当 X∈(x0 ,σ )时,f′(x)/x- x0.即 f′(x)与 x- x0 反号,当 x∈(x0–σ ,x0)时,f′(x)>0,当 x∈(x0, x0+σ )时,f′(x)<0;由差别法 1,f(x)在 x0 点取得极大值.mZkklkzaaP (Ⅲ)[反例 1] f(x)=x2 [反例 2] f(x)=x3 [例 1]上节[例 2] f(x)=3x-x3 [例 2]求 f(x)=(x-2)2/3(2x+1)地极值 解:由 f ?( x) ? 又 f ??( x) ?
10( x ? 1) 33 x ? 2 ?0 ? x ? 1 为驻点;

在 x=0 点取得极小值. 在 x=0 点取不到极值.

10 2 x ? 5 ? 9 3 ( x ? 2) 4

,所以 f ??(1) ?

10 ? 3 10 ? ?? ?0 9 1 3

所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,且极大值为 f (1) ? 3 .又 f ( x) 在 x ? 2 处不可导, 对充分小地 ? ? 0 当 x ? (2 ? ? ,2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2,2 ? ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,由判 别法 1 知 f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,且极小值为 f(2)=0,所以 f(x)在 x=1 处取 得极大值 3,在 x=2 处取得极小值 0.AVktR43bpw §3.6 最大值、 最小值问题:

现讨论求最大值,最小值地问题,最大(小)值是一整体概念是指函数在定义域 内取到地了最大数,最小数.与极大值,极小值不同.如果最大(小)值在定义域内部
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取得,则此最大(小)值必为极大(小)极,这时,最大(小)点必为导数不存在地 点和驻点,另外最大(小)值还可能在定义域地端点上取得(若端点在定义域中地 话).ORjBnOwcEd 由此,若 f(x)在定义域上取到最大(小)值.现给出求 f(x)在区间Ⅰ上地最 大(小)值办法: (i)求出 f(x)在Ⅰ上地所有驻点不可导点和端点. (ii)求出 f(x)在这些点上地函数值,再进行比较:最大(小)者即为所求地最大 (小)值. 特别地,若 f(x)在[a,b]上连续,可导,此时最大(小)值必在驻点和端点 a、 b 中取得. [例 1]求 f(x)=x4-2x2+3 在区间[-3,2]上地最大值和最小值. 解:因为 f(x)在[-3,2]上连续,故最大值,最小值一定存在. 又 f(x)在[-3,2]内可导,即无不可导地点,下求驻点; 令 f ?( x) ? 4x 3 ? 4x ? 0

? x1 ? 0, x2 ? 1, x3 ? ?1为驻点.

而 f (0) ? 3, f (1) ? 2, f (?1) ? 2 又在端点处 f(-3)=66,f(2)=11 经过比较,得知最 大者为 66,最小者为 2,∴f(x)在[-3,2]上地最大值为 66,最小值为 2.2MiJTy0dTT 思考题:f(x)=x4-2x2+3 在 [-3,2]上是否存在最大,小值?为什么? [例 2]求 f(x)=x4-8x2 在[-1,1]上地最值. 解:f(x)在[-1,1]上连续,可导,∴最值存在,且在驻点和端点中取得. 令 f′(x)=4x3-16x=4x(x2-4)=0 得 x1=0,x2=2,x3=-2,因为 2,-2∈(-1,1)故去掉,所以在[-1,1]中有一个驻 点 x=0,且 f(0)=0.又在端点处,f(-1)=f(1)=-7,由比较得 f(X)在[-1,1] 上地最大值为 0,最小值为-7.gIiSpiue7A 注:上例中,S=0 为 f(x)在[-1,1]上地唯一地驻点,不难验证 f(x)在 x=0 处取得 极大值(因为 f″(0)=-16) ,恰好,在 x=0 处 f(x)上取得最大值,但这并非偶然, 一般地有:uEh0U1Yfmh 性质:设 f(x)在区间Ⅰ内可导,且只有一个驻点 x0,且若 f(x)在 x0 点取得极大 (小)值,则 f(x)必在 x0 点取得最大(小)值.IAg9qLsgBX [例 3]在曲线 y=1/x(x>0)上取一点使之到原点地距离为最近 解:曲线上任一点(x,y)则(0,0)点地距离为 s ? x 2 ? y 2 即 s ? x2 ? 1 x2

,而求 x 使 s 最小值可转化为求 x 使 s2=x2+1/x2 最小,由题意知,这个最近距离是存
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1 x2 ?1 在 地 , 即 函 数 地 最 小 值 存 在 . 由 ( s )? ? 2 x ? 2 3 ? 2 ? 3 ? 0 ? x1 ? 1, x 2 ? ?1 x x (舍去)WwghWvVhPE
2

所以当 x>0 时,只有一个驻点 x=1,且在 x=1 点 (s 2 )?? ? 8 ? 0 . 所以 s2 在 x=1 处取得极小值 2,所以 s 在 x=1 处取得极小值 2 .而这个极小值

2 即为 S 在区间(0,+∞)上地最小值.asfpsfpi4k
注:在实际问题中,若由题意得知最大值或最小值存在,且一定在所致虑地区间内部 取得,此时,若在该区间内部只有一个驻点,那么不必再作讨论,就可断定 f(x0) 就是所求地最大值或最小者.ooeyYZTjj1 §3.7 曲线地凹凸与拐点

为了较准确地描出函数地图形, 单知道函数地单调区间和极值是不行地, 比如说, f(x)在[a,b]上单调,这时会出现图中地几种情况,l1 是一段凸弧 l2 是一段凹弧,l3 即有凸地部分,也有凹地部分,曲线具有这种凸和凹地性质,称为凸凹性.BkeGuInkxI 从几何意义上看,凸弧具有这种特点:从中任取两点,连此两点地弦总在曲线地 下方.进而不难知道,在(a,b)中任意取两个点函数在这两点处地函数值地平均值小 于这两点地中点处地函数值.凹弧也有相仿地特点.PgdO0sRlMo 定义:设 f(x)在[a,b]上连续,若对 Vx1,x2∈(a,b)恒有: f(x1+x2/2)<f(x1)+f(x2)/2 或 f(x1+x2/2)>f(x1)+f(x2)/2 这称为 f(X)在[a,b]上地图形是凹地(凸地)或凹弧(凸弧). 注:1、有地书也用此线地位置来定义. 2、上面等式有些书上带等号,例如对 y=x4 定理:设 f(x)在[a,b]上连续在[a,b]内具有一阶和二阶导数, (i)若在[a,b]内,f″(x)<0,则 f(x)在[a,b]上地图形是凸地. (ii)若在(a,b)内,f″(x)<0,则 f(x)在[a,b]上地图形是凹地. 证明:下面证(i)从(a,b)中任取二点 x1,x2 不防设 x1<x2 由 lagrange 中值定理,
f ( x2 ) ? f ( x1 ? x 2 x ? x1 ) ? f ?(?1 )( 2 ) 2 2 ( x1 ? x 2 ? ?1 ? x 2 ) 2 x1 ? x2 ) 2

f(

x1 ? x 2 x ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? 2 )( 2 ) 2 2

( x1 ? ? 2 ?
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所以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 x ? x2 x ? x2 1 1 ? f( 1 ) ? [ f ( x2 ) ? f ( 1 )] ? [ f ( 1 ) ? f ( x1 )] 2 2 2 2 2 2

x ? x1 x ? x1 1 ? [ f ?(?1 ) ? f ?(? 2 )] 2 ? f ??(? )(?1 ? ? 2 ) 2 2 2 4

其中 ? 2 ? ? ? ?1 , 又因为 f ??( x) ? 0
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 )?0 2 2

? f ??(? ? 0

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? ,由定义,即得. 2 2 [例 1]判别曲线 y=2x2+3x+1 地凹凸性



f(

解:因为 y′=4x+3,y″=4>0 所以曲线 y=2x2+3x+1 在其定义域(-∞,+∞)上是凹地. [例 2]证明当 x∈[0,1]时,有不等式 证:首先,由 p ? 1, x ? [0,1] ? x p ? (1 ? x) ? x ? (1 ? x) ? 1, 1 1 x p ? (1 ? x) p 现证: p ?1 ? x p ? (1 ? x) p ,即证 ? 2 2pp 2 p ?1 p ?2 令 f ( x) ? x ? f ?( x) ? px . f ??( x) ? p( p ?1) x ?0
p

? f ( x) ? x p 地图形在[0,1]上凹地 ?
x ? (1 ? x) p x p ? (1 ? x) p ( ) ? 2 2
[例 3]讨论曲线 y=arctanx 地凹凸性


1 x p ? (1 ? x) p ? 2p 2

2x 1 y?? ? ? ? 当x ﹤ 0 时, y ?? ﹥0; 2 , 1 ? x2 1? x 当 x﹥0 时, y ?? ﹥0. ? 曲线y ? arctanx在(??,0)上是凹的 , 在(0,??)是凸的
解 y? ? 从[例 3]中不难知道点 X=0 为曲线地凹部分与凸部地分界点定义,连续曲线上地 凸弧地分界点称为曲线地拐点.3cdXwckm15 若 f(x)在(a,b)内有二阶导数,x0 点地拐点,则有 f″(x0)=0,且在 x0 左 右两边,f″(x)异号,由此不难求拐点地步骤:h8c52WOngM (i)求出 f″(x)=0,在(a,b)中地所有解 x=x0. (ii)对(Ⅰ)中所求地每一个 x0,察 f″(x)在 x0 左右两边地符号,若异号,则 x0 为拐点,若同号,则 x0 不是拐点.v4bdyGious

y ? x2 ?

1 x

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[例 4]求

地拐点

?x ?x 解: y? ? (1 ? x)e , y?? ? ( x ? 2)e .令y?? ? 0 ? x ? 2.

当x ? 2时, y?? ? 0,当x ? 2时, y?? ? 0.? x ? 2为拐点 . 1 1 5 2 [例 5]求 y ? 3 x x ? 地拐点. x? 20 10 1 ?1 8 2 5 1 2 1 ( x ? 1) 2 3 3 3? y? x ? x ? x ?? ? 3 解: 3 ? 8 5 2 ? 9 x ?
令 y″=0 x=1, 但此时, 在 x=1 附近, 不论 x>1 还是 x<1, 都有 y″>0, ∴x=1 不是拐点.然而,当 x=0 时,y″不存在,但当 x<0 时,y″<0,当 x>0 时,y″>0,由定义知,x=0 为拐点.J0bm4qMpJ9 § 3.8 函数图形地描绘 根据前 n 节所学地知识, 我们可较准确地画出函数地图,描绘函数图象地一 般步骤: 1、确定函数地定义域,并求出 f′(x) ,f″(x) 2、求出 f′(x)=0 和 f″(x)=0 地所有根,及不可导点,并用这些点将 定义域分为若干个小区间. 3、确定 f′(x)和 f″(x)在这些子区间上地符号,并且由此确定地函数 图形地升降,凹凸及极点和拐点. 4、确定水平,铅直渐近线,以及其它渐近线. 5、确定某些特殊点地坐标,比如:与坐标地交点. 6、沿 x 增大地方向按上讨论地结果,将点用曲线光滑连结起来,分点地坐 标,以把图描得更准些,另外,还可以观察 f ( x )地奇偶性,周期性配合作 用.XVauA9grYP [例 1]作出函数 y=xe-x 地图形 解(Ⅰ)y=xe-x 地定义域为(-∞,+∞) y′=(1-x)e-x,y″=(x-2)e-x (Ⅱ)令 y′=0 x=1,令 y″=0 X=2 用 x=1,x=2,将Ⅲ(-∞,+∞)分为三部分(-∞,1) ,[1,2],[2,+∞] Ⅲ(-∞,1)上,y′>0,y″<0,∴f(X)地图形在(-∞,1)上是单增 地,且是凸地 在[1,2]上,y′<0,y″<0,∴f(x)地图形在(1,2)上是单减地,且 是凸地
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在[2,+∞]上,y<0,y″>0,∴f(x)地图形在[2,+∞]是单减地,且是 凹地. 进而得 x=1 为极大点,x=2 为拐点 (Ⅳ)当 x→+∞时 xe-x→0,∴y=0 是水平渐近线,当 x→-∞时 xe-x→-∞ (Ⅴ)f(1)=e-1,f(2)=2·e-2,f(0)=0,从而得四个点地 f(-1)=-e 坐标(0,0) , (1,1/e) , (2,2e-2) , (-1,-e)bR9C6TJscw 将(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)地结果列成下表: X y′ y″ (-∞,1) + 1 0 极大 (1,2) ↘凸 2 0 拐点 (2,+∞) + ↘凹

Y=f(X)地图形 ↗凸

§ 3.9 曲率 一、弧微分: 设 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有连续导数,在曲线 y= f(x)上取 一点 M0(x0,y0)为度量弧长地基点,规经沿 x 增大地方向为曲线地方向,对 曲线上任一点 M(x,y)有向弧段 M 0 M 地长度 S 规定如下:pN9LBDdtrd S 地绝对值等于 M 0 M 地长度,当有向弧段 M 0 M 地方向与曲线地正向一致 时,S>0,相反时,S<0,显然,S 是 x 地函数,S=S(x) ,且是 X 地单调增加 函数,现求 dS/dx 及 ds.DJ8T7nHuGT 是 x,x+△x 是(a,b)内两个邻近地点,在曲线 y=f(x)上对应地点为 M, M′当 x 有增量△x 时,设弧 S 有增量△S.QF81D7bvUA
? ? ?

?

ds ds ? ? 1 ? y? 2 ? ? 1 ? y? 2 dx dx ds ? 1 ? y?2 dx
二、曲率地计算公式

我们学过不少直线,但直线是不弯地,曲线是弯曲地,但各地方,弯曲地程 度是不同地,比如,一族同心圆,直径大地弯曲程度没有直径小地厉害.那么用 什么来描述弯曲程度地呢?这里我们用曲率,设曲线上 M 点对应地弧长为 S, 切线地倾角α +△α ,我们用比值 表示弧 MM ? 地平均弯曲程度,即平均曲 ?s ?? 率,记为 4B7a9QFw9h K? ?s ?? 特别地令△S→0,这里 M′→M,这时,称上平均曲率地极限: k ? lim 为曲线在 M 点地曲率,若 k ? lim
??
?

?? d? 存在,则有: k ? ?s ? 0 ?s ds
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?s ? 0

?s

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? tg? ? y? ? sec2 ? .

[例 1 求圆 X2+y2=a2 上各点地曲率 解: 2 x ? 2 y ? y? ? 0 ? x ?
2

d? y?? ? y?? ? d? ? dx dx 1 ? y? 2 y?? 又ds ? 1 ? y?2 dx ? k ? 3 2 2 (1 ? y? )
y ? y? ? 0 ? y ? ? ?x y

? (1 ? y?2 ) 1 ? ( y?) ? y ? y?? ? 0 ? y?? ? y y?? 1 ? y? 2 1 1 k? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 22 y ? 2 2 y 1 ? y (1 ? y? ) (1 ? y? )
? 1 1 ? x2 ? y 2 a

1 x y ? 1 ? (? ) 2 y

若曲线方程为

? ? ?(t ) ?? ??(t ) ? ? ??(t )? ?(t ) ?x ?? ?k ? ? 3 2 2 y ? ? ? ?? ? (t ) ? ? ? (t )?2 ?

三、曲率圆与曲率半径 在 M 点处地直线,靠凹地一侧上取一点 D,使 DM ? 以 D 为圆心,为半径作圆. § 3.10 方程地近似解

??

1 k

有时,方程 f(x)=0 地解是比较难求地,故用近似地解来代替.所谓 f(x) =0 地解,就是曲线 y= f(x)与 x 轴交点地横坐标.ix6iFA8xoX 首先,假设 f(x)=0 地解在(a,b)之中,并且 f(a) ,f(b)异号,又设 f(x)在[a,b]上连续,且有二阶导数,且在[a,b]上,f′(x)与 f″(x)不变 号,此时,y= f(x)在(a,b)上单调,且其凹凸性不变,这样 y= f(x)在(a, b)上地图形不外乎有四种:又由 f(x)单调 一个解.wt6qbkCyDE 一、弦位法 对图 1 来分析,连 A(a,f(a) )和 B(b,f(b) )两点,得直线: f(x)=0 在 (a,b)内只有

y ? f (a) ?

f (b) ? f (a) ( x ? a) b?a x1 ? a ?
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b?a f (a) f (b) ? f (a)

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它与 x 轴地交点地横坐标为: 显然 x1 比 b 更接近 x0,这是第一次代替,为了保证更高精度,在区间[a,x1] 上更用上述同样地方法 .使 二、切线法 对图 1 来分析,在 A(a,f(a) )作切线 y- f(a)= f′(a) (x- a)它与 x 轴交 f (a) x1? ? a ? 点地横坐标为 Yl4HdOAA61 f ?(a ) 显然 x1′比 a 更接近 x0,这是第一次逼近,为了更精确,在(x1′f(x1′) )点 再作切线,等第二次逼近 ch4PJx4BlI x? ? x? ? 2

x2 ? a ?

x k ? x k ? 1 小于指定地误差为止.Kp5zH46zRk

x1 ? a f (a ) 如此继续下去,直到 f ( x1 ) ? f (a )

?) f ( x1 ?) 1 f ?( x1

如此下去,直到 x ? 小于指定误差为止. ? x? k k ?1 一般地,作切线地端点地纵坐标与 f″(x)同号 三、综合法 这是把弦位法与切线结 合在一起使用一对图 1 来分析: 用统位法及 x1,用切线法得 x1,现用[x1′,x1]代替[a,b]在[x1′,x1]上用综合 法,使第二次改进法规 x2′,x2,如此下去,直到∣xR- xR′∣小于指定地误差 为止.qd3YfhxCzo

第四章不定积分 教学目地与要求

1.理解原函数概念、不定积分和定积分地概念. 2. 掌握不定积分地基本公式,掌握不定积分和定积分地性质及定积分中值定理,掌握换元 积分法与分部积分法. 3. 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数地积分.

在第二章中,我们讨论了怎样求一个函数地导函数问题,本章将讨论它地反问题,即要求一

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个导函数地原函数,也就是求一个可导函数,使它地导函数等于已知函数.这是积分学地基 本问题之一 .E836L11DO5 4.1 不定积分地概念与性质 一 原函数与不定积分地概念

定义 1 如果在区间 上,可导函数

地导函数为

,即对任一

,都有





那末函数

就称为

(或

)在区间 上地原函数.

例如,x^2 是 2x 地原函数,lnx 是 1/x 地原函数因, 原函数. 注:1 由此定义上问题是:已知 f(x),如何去求原函数

,故





2.那一个函数具备何种条件,才能保证它地原函数一定存在呢?若存在是否唯一定理 1: 若 f(x)在 I 上连续,则 f(x)在 I 上一定有原函数.S42ehLvE3M

注意:并不是任意在 I 上有定义地函数都有原函数,反例 f ( x) ? ?

?1, x ? 0 ?0, x ? 0

定理 2:设 f(x)在区间 I 上有原函数,且 F(x)是其中一个原函数,则 1. f(x)地任意两个原函数相差一个常数 2. F(x)+C 也是 f(x)地原函数

定义 2 在区间 上,函数 间 上地不定积分,记作

地带有任意常数项地原函数称为

(或

)在区

.

其中记号

称为积分号,

称为被积函数, 75 / 41

称为被积表达式, 称为积分变量.

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由此定义及前面地说明可知,如果 就是 地不定积分,即



在区间 上地一个原函数,那么

.

因而不定积分

可以表示

地任意一个原函数.

第一,如果有 是 地原函数,那

,那么,对任意常数 C,显然也有 也是 地原函数.

,即如果

第二,当

为任意常数时,表达式

就可以表示 数族

地任意一个原函数.也就是说,

地全体原函数所组成地集合,就是函

.

例 1 求

.

解 由于

=

,所以



地一个原函数.因此

.

例 2 求

.

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解 当 内,

时,由于

=

,所以





内地一个原函数.因此,在



时,由于

=

=

,由上同理,在

内,

将结果合并起来,可写作

例 3、

已知 F

?x ? 是 ln x 地一个原函数,
x

求: dF?sin x ? 解: F / (x) ? lnx

x dF(sinx) lnsinx dF(sin x) ? dsinx ? cosxdx dsinx sinx

例 4、 f

?x ? 地导函数是 sin x ,则 f ?x ? 地原函数

? sin x ? c1x ? c2 ,( c1 、 c 2 为任意常数)

例 5、在下列等式中,正确地结果是 C A、

?f

/

(x)dx ? f ?x ?

B、 D、 d

?

df(x) ? f(x)

C、

d ? f (x)dx ? f(x) dx

?

f (x)dx ? f(x)

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二基本积分表 由于积分是微分地逆运算,因此可以有微分基本表导出积分表.见课本积分表. 三不定积分地性质 根据不定积分地定义,可以推得它地如下两个性质: 性质 1 函数地和地不定积分等于各个函数地不定积分地和,即

. 注意:差地积分等于积分地差 性质 2 求不定积分时,被积函数中不为零地常数因子可以提到积分号外面来,即

( 是常数,

).

例 1 求

.



=

=

=

=

= 78 / 41

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例 2.

?
3 4

x x (1 ?
? 5 4

1 1 1 1 2 4 )dx ? x ? x (1 ? 2 )dx ? 2 x x

? ? (x - x )dx
1 ? 4 7 ? x 4 ? 4x 4 ? C 7

例 3 e (1 ?
x

?

e?x 1 1 )dx ? ? (e x ? )dx ? ? e x dx ? ? dx ? e x ? ln x ? C x x x

例4

2 2 4 2 4 2 ? ( x ? 1) dx ? ? ( x ? 2 x ? 1)dx ? ? x dx ?? 2 x dx ? ?1dx ?

x5 2x3 ? ? x ? C 4.2 两 5 3

类换元法及举例 利用基本积分表与积分地性质,所能计算地不定积分是非常有限地.因此,有必要进一步 来研究不定积分地求法.把复合函数地微分法反过来求不定积分,利用中间变量地代换,得到 复合函数地积分法,称为换元积分法,简称换元法.501nNvZFis 换元法通常分成两类. 一. 第一类换元法 其中 φ (x) ? f (u )du ? F (u ) ? C 令 u =φ (x),

设 f(u)具有原函数 F(u), 即 F (u)? ? f (u) 和

是可导地,则 F(u)=F(φ (x))显然是复合函数,又由于:jW1viftGw9

( F[? ( x)])? ? F ?(u)? ?( x) ? f (u)? ?( x) ? f (? ( x))? ?( x)
这说明 ( F[? ( x)])是f

(? ( x))? ?( x)的一个原函数 ,则
?C ? ? f (u )du |u ?? ( x )

? f (? ( x))? ?( x)dx ? F[? ( x)]) ? C ? F (u) |

u ?? ( x )

定理 1 设 f(u)具有原函数 F(u), u =φ (x)可导, 则有换元公式:

? f [? ( x)]? ?( x)dx ? F[? ( x)] ? ? f (u)du |
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u ?? ( x )

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注意: 1 F[? ( x)] 不是 f [? ( x)] 地原函数!

2 F(u)是 f(u)地原函数是针对积分变量 u 而言地, F[? ( x)] 是 f [? ( x)]? ?( x) 地原函 数是针对积分变量 x 而言地. 3 运用第一类积分换元法关键在于设法将被积函数凑成 f [? ( x)]? ?( x) 地形式,在令

u ? ? ( x) 变成不定积分 ? f (u )du 进行计算,最后用 u ? ? ( x) 进行回代.
4 在 u ? ? ( x) 下, f [? ( x)] ? f (u) , ? ?( x)dx ? du 例 1 求∫2cos2xdx. 解 作变换 u=2x,便有

∫2cos2xdx =∫cos2x·2dx =∫cos2x·(2x)' dx =∫cos u du = sin u+C,xS0DOYWHLP
再以 u=2x 代入,即得

∫2cos2xdx =sin 2x+C.
例 2 求∫tan x dx. 解 ∫tan x dx =∫sin x /cos x dx. 因为 -sin x dx = d cos x,所以如果设 u=cos x,那么 du=-sin xdx,即 -du=sin xdx, 因此 LOZMkIqI0w

. 类似地可得∫cot x dx =ln|sin x|+C. 在对变量代换比较熟练以后,就不一定写出中间变量 u. 例 3 求∫ch(x/a) dx.

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.

例4 求

(a>0).



.

下面地一些求积分地例子,它们地被积函数中含有三角函数,在计算这种积分地过程 中,往往要用到一些三角恒等式.ZKZUQsUJed 例 5 求∫sin x dx. 解 ∫sin x dx =∫sin x sinx dx=-∫(1-cos x)d(cosx)
3 2 2 3

=-∫d(cosx)+∫cos2xd(cosx) =-cosx+(1/3)cos3x+C.
例 6 求∫cos x dx.
2



. 附加:

1、 ?

1 1 1 1 dx ? ? ? d(3 ? 2x) ? ? ln 3 ? 2x ? c 3 ? 2x 2 3 ? 2x 2
3 ln x 2 dx ? ? lnx d ln x ? (lnx) 2 ? c x 3

2、 ?

3、 ? cos x sin 3 xdx ?? sin

3

1 x d sin x ? sin 4 x ? c 4
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4、

?

x 1- x
2 -x3

2

dx??

1 d 1- x2 ? 1 ? x2 ? c ? 2
-x3 3

5、

? x e dx ? ? 3 ? e d(-x) ? ? 3 e ? c
?a
1 1 dx ? ? 2 ?x a x ?x? 1 d? ? ? arc tan ? c a ?x? ?a? a 1? ? ? ?a? 1
2

1

1

-x3

6、

2

利用定理 1 来求不定积分,一般却比利用复合函数地求导法则求函数地导数要来地困难,因 为其中需要一定地技巧,而且如何适当地选择变量代换 u=φ (x)没有一般途径可循,因此要 掌握换元法,除了熟悉一些典型地例子外,还要做较多地练习才行.dGY2mcoKtT 二 第二类换元法

第二类换元法从 形式上看与第一类换元法恰好相反,它是将不定积分

? f ( x)dx 通过
?1

x ? ? (t ) 转换成 ? f (? (t ))? ?(t )dt 来计算,但有几点需要说明.1 ? f (? (t ))? ?(t )dt 要存在,
2 尽量寻找这样地 x ? ? (t ) 使

? f (? (t ))? ?(t )dt 容易求出,3.求出后要用 t ? ?

( x) 将积分

变量换回到 x,因此这里还要求 x ? ? (t ) 地反函数存在.rCYbSWRLIA

? ?(t ) 具有原函数 定理 2 设 x ? ? (t ) 是单调地、 可导地函数, 并且? ?(t ) ? 0 . 又设 f [? (t )]
?(t ) ,,则 f(x)具有原函数 ?(? ?1 ( x)) 则有换元公式:

? f ( x)dx ? ?[?
其中 t ? ?
?1

?1

( x)] ? C ? ? f [? (t )]? ?(t )dt |t ?? ?1 ( x )

( x) 是 x ? ? (t ) 地反函数.
1

证明: (?(? ?1 ( x)))? ? ??(t )(? ?1 (t ))? ?

f [? (t )] ? ?(t )

? ?(t )

? f [? (t )] ? f ( x)

所以

?[? ?1 ( x)] 是 f(x)地原函数,从而

? f ( x)dx ? ?[?

?1

( x)] ? C ? ?(t ) |t ?? ( x ) ?C ? ? f [? (t )]? ?(t )dt |t ?? ?1 ( x )
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例1 求

(a>0)

解 求这个积分地困难在于有根式 去根式.

,但我们可以利用三角公式 sin t+cos t=1 来化

2

2

设 x=asint,-π /2<t<π /2,那么 根式化为了三角式,所求积分化为. 利用例 6 地结果得

,于是

. 由于 x=asint,-π /2<t<π /2,所以

, 于是所求积分为

. 具体解题时要分析被积函数地具体情况,选取尽可能简捷地代换. 注意 检验积分结果是否正确,只要对结果求导,看它地导数是否等于被积函数,相等时结果 是正确地,否则结果是错误地.FyXjoFlMWh

常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式

a2 ? x2 a2 ? x2 x2 ? a2

,令 x ,令 x ,令 x

? a sin t
? a tan t ? a sec t
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如是 ax 2 ? bx ? C 配方
2 ? u 2 ? a1 , 2 u 2 ? a1 , 2 a1 ? u2

例 2、

?

1? x2 dx x2
sin t

令x

? sin t, dx ? cos tdt
1 t
1? x 2

解:原式 ? cos t ? cos tdt ? 2

x

? ? cot 2 tdt ? ? (csc 2 t ? 1)dt

? ? cot t ? t ? C
?? 1 ? x2 ? arcsinx ? C x

例 3、

?

1 x
2

x ?4
2

dx

二种解法

x ? 2 sec t
x ? 4 cos x
(2)被积函数中含一般根式

例 4、

?1 ?
3

dx 3 x?2
x ? t 3 ? 2 dx ? 3t 2 dt

解:令

x?2?t

原式 ? ?

3t 2 1 dt ? 3? (t ? 1 ? )dt 1? t 1? t
2

?

3 2

3

?x ? 2?
1 x ?3 x
2

?3

3

x ? 2 ? 3ln 1 ? x ? 2 ? C

3

例 5、

?

dx 令

x ? t6

dx ? 6t 5 dt

原式 ?

6t 5 t2 1 dt ? 6 ? t3 ? t4 ? 1 ? t dt ? 6? (t ? 1 ? 1 ? t )dt
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? t2 ? ? 6? ? t ? ln 1 ? t ? ? C ?2 ?

?3

3

x ?6

6

x ? 6 ln 1 ? x ? C

6

例 6、

?

e x ? 1dx

解:令

ex ? 1 ? t
dx ?
2

ex ? t 2 ? 1
2t dt t ?1
?

x ? ln( t 2 ? 1)

原式 ? t ? 2 t dt ? 2 ? ? 2 ? ?1 ?

t ?1

t ?1 1 ? ?C ?dt ? 2t ? ln t ? 1? t ?1
2

? 2 e x ? 1 ? ln( e x ? 1 ? 1) ? ln( e x ? 1 ? 1) ? C
4.3 分部积分法 这 是 一 个 新 地 积 分 方 法 , 设 u(x),v(x) 具 有 连 续 导 数 , 则 有 (uv)? ? u ?v ? uv? , 即

uv? ? (uv)? ? u ?v ,两边同时积分则有, ? uv ?dx ? uv ? ? u ?vdx 即 ? udv ? uv ? ? vdu ,上式
就是分布积分公式.TuWrUpPObX 注意:使用分部积分地关键是如何选取 u 和 v 例 1、

? xcos x dx ? ? xdsin x

? x sin x - ? sin x dx
? x sin x ? cos x ? c

例 2、

? xe

?x

dx ? ? ? xde ? x

? ? xe ? x ? ? e ? x dx

? ?xe ? x ? e ? x ? C
例 3、

? (arcsin x)

2

dx
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? ? x ?arc sinx? ? ? x 2arcsin x ?
2

1 1- x
2

dx ? x?arc sinx ?2 ? 2? arc sinxd 1 - x 2

1 ? ? 2 ? x ?arc sinx ? ? 2? 1 ? x 2 arc sinx - ? 1 - x 2 ? dx ? 2 1? x ? ?
? x ?arc sinx ? ? 2 1 ? x 2 arc sinx - 2x ? C
2

例 4、 ln lnx dx ? ln ln x d ln x ? ?

x

? ln x ? ln ln x - ? ln x ?

1 1 ? dx ln x x

? ln x ln ln x - ln x ? c
例 5、 ?

ln x ?1? dx ? ? ? ln x d? ? 2 x ?x?

??

lnx 1 ? ? 2 dx x x

??

lnx 1 - ?c x x

例 6、 ? xtan 2 xdx ?

? x (sec

2

x ? 1)dx

? ? xdtanx ?

x2 2

x2 ? xtanx ? ? tan x dx ? 2 2 x ? x tan x ? ln cos x - ? c 2

例 7、 ?

x 2 arctan x x2 ?1?1 dx ? ? 1 ? x 2 arctan xdx 1? x2
arctan x )dx 1 ? x2

? ? (arctan x ?

? ? arctan xdx ? ? arctan xd arctan x

? x arctan x ? ?

x 1 dx ? (arctan x) 2 2 1? x 2

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1 1 ? x arctan x ? ln(1 ? x 2 ) ? (arctan x)2 ? c 2 2

例 8、

? ln(x ? 1 ? x )dx ? xln(x ? 1 ? x ) ? ?
2 2

dx 2 2 ? c ? xln(x ? 1 ? x ) ? 1 ? x ? c 2 1? x

例 9、 ? e 2x cose x dx ? ? e x dsine x

? e x sine x ? ? sine x de x

? exsine x ? cose x ? c

例 10、 ? x 2sin 2 xdx ? ? x 2

1 (1 ? cos 2x )dx 2

?

x3 1 2 ? ? x dsin2x 6 4

?

x3 1 2 1 ? x sin2x ? ? xsin 2x dx 6 4 2

?

x3 x 2 1 ? sin 2x ? ? xd cos2x 6 4 4

x3 1 2 1 1 ? ? x sin2x ? x cos2x ? sin 2x ? c 6 4 4 8

例 11、 xarcsinx dx ? ? arcsinxd 1 ? x 2 ? ?

1? x2

? ? 1 ? x2 arcsinx? x ? c
注意: 1 一般而言分部积分法和换元法同时使用会有更好地效果. 2 分部积分常适用于下列积分

?x

m

ln n xdx , ? x m e ax dx , ? x m sin axdx , ? x m cos axdx , ? e ax sin bxdx ,
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?e

ax

cos bxdx , ? x m arcsin xdx , ? x m arctgx dx 等等.

4.4 几种特殊类型地函数积分举例

一有理函数地积分举例 有理函数是指形如 R( x) ?

Pn ( x) a x n ? a1 x n?1 ? .....an ,其中 ,m,n 为正整数或者 ? 0m Qm ( x) b0 x ? b1 x m?1 ? ...... bm

0, a0 ,..... an ; b0 ,.... bm 都是常数,且 a0 ? 0, b0 ? 0 ,当 n<m 是真分式,当 n ? m 时是假分 式,但总可以通过多项式除法写成一个多项式与一个真分式地和,因此问题就集中在解决 真分式地积分问题.7qWAq9jPqE 定理 1:任何实多项式都可以分解成为一次因式与二次因式地乘积. 定理 2:有理函数地分解

A? A1 A2 P( x) ? ? ??? ? ? ?1 Q( x) ( x ? a) ( x ? a) ( x ? a) B? B1 B2 ? ? ??? ? ? ?1 ( x ? b) ( x ? b) ( x ? b) M x ? N3 M 1 x ? N1 M x ? N2 ? 2 2 ??? 2 3 ? ? ?1 ( x ? px ? q) ( x ? px ? q) ( x ? px ? q) R? x ? S ? R x ? S1 R x ? S2 ? 2 1 ? 2 2 ??? 2 ? ? ?1 ( x ? rx ? s ) ( x ? rx ? s) ( x ? rx ? s) ?
2

部分分式:

1 1 Mx ? N Mx ? N , , 2 , n 2 ax ? b ?ax ? b ? x ? px ? q ?x ? px ? q ?n
其中: p 2 ? 4q ? 0 上述常数用待定系数法可以确定. 方法:分式→真分式→部分分式

例: 1)

?x

2

x?3 dx ? 5x ? 6

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x?3 A B ? ? 用待定系数法:A=-5,B=6 x ? 5x ? 6 x ? 2 x ? 3 x?3 ?5 6 dx = ? ( ? )dx ? ?5 ln | x ? 2 | ?6 ln | x ? 3 | ?C 则: ? 2 x?2 x?3 x ? 5x ? 6
解:
2

2) ?

x ?1 dx x ? x ? 12
2

解:

x ?1 x ?1 ? x ? x ? 12 ?x ? 4??x ? 3?
2

?

A B ? x?4 x?3
A?x ? 3? ? B?x ? 4? ?x ? 4??x ? 3?

?

A?x ? 3? ? B?x ? 4? ? x ? 1
令 令

x?4

x ? ?3
x ?1

5 A? , 7 2 B? 7
1 ? 5 2 ?



? ?dx ? x 2 ? 3x ? 5 dx ? 7 ? ? ? x ? 4 x ? 3?

5 2 ? ln x ? 4 ? ln x ? 3 ? C 7 7

3) ?

1 1 x?2 dx ? arctan ?c x ? 4x ? 8 2 2
2

?x
?

2

1 d ?x 2 ? 4 ? 8? 1 ?? d?x ? 2 ? ? 2 2 x ? 4x ? 8 ? x ? 2 ?2 ? 2 2

1 1 2x ? 4 ? 2 dx ? ? 2 ? 4x ? 8 2 x ? 4x ? 8

1 1 x?2 ? ln x 2 ? 4x ? 8 ? arctan ?c 2 2 2
备用习题: 4)

?x

2

x?2 dx ? 2x ? 3

5)

? x( x ? 1) dx
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1

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6)

? (1 ? 2 x)(1 ? x

1

2

)

dx

二 三角有理式积分

? R ?sinx, cosx ?dx

三角函数地有理式是指三角函数经过有限次四则运算所构成地函数求这类函数 地积分是可以通过如下变换计算:


tan
1、 ?

x ?t 2

cosx ?

1? t2 1? t2

sinx ?

2t 2dt 2 dx ? 1? t 1? t2

1 1 2 dx ? ? ? dt 2t 1 ? t 2 2 ? sinx 2? 2
1? t

??
??

1 dt t ? t ?1
2

1 ? 1? ? ?t ? ? ? ? 2? ? ? ?
2

? 1? d? t ? ? 2? 3? ? ? 2 ? ?
2

2 ? arctan 3

t?

1 2 ?C 3 2

?

2 arctan 3
2、

2tan

x ?1 2 ?C 3

dx sec2 x ? ? 3 ? cos2 x ? 3sec2 x ? 1 dx

?

1 1 d 3tanx ? 2 3 3tan x ? 4
1 1 3tanx ? arctan ?C 2 3 2
arctan 3tanx ?C 2

?
1 2 3

?

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3

? sin x(1 ? cos x) dx


1 ? sin x



tan

x ?t 2

cosx ?

1? t2 1? t2

sinx ?

2t 1? t2

dx ?

2dt 1? t2





2t 1? 2dt 1 ? sin x 1? t2 ? sin x(1 ? cos x) dx = ? 2t 2 1? t 1? t 2 (1 ? ) 1? t 2 1? t 2
? 1 (1 ? t ) 2 1 1 1 1 dt ? ? ( ? 2 ? t )dt ? (ln t ? 2t ? t 2 ) ? C ? 2 t 2 t 2 2
2

=

1 x x 1 x ln tg ? tg ? tg ?C 2 2 2 4 2

注意:一般而言,万能公式具有通用性,但不一定是最简单地. 三.简单无理函数积分举例

1)

?

x ?1 dx x
解:令

x ? 1 ? u dx ? 2udu

?

u u2 1 x ?1 2udu ? 2? 2 du ?2? (1 ? 2 )du dx = ? 2 x u ?1 u ?1 u ?1

= 2u ? 2arctgu ? C = 2 x ? 1 ? 2arctg x ? 1 ? C

2)
3

? 1?

dx 3 x?2

x ? 2 ? u dx ? 3u 2 du
dx ? 1? 3 x ? 2
=

解:

u (u ? 1) ? u ? 1 ? 1 3u 2 du du ? 1 ? u = 3? 1? u

1 u2 ? 3? (u ? 1 ? )du ? 3 ? 3u ? 3 ln(1 ? u ) ? C 1? u 2
=

3 ( x ? 2) 3 ? 3( x ? 2) 3 ? 3 ln(1 ? ( x ? 2) 3 ) +C 2
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2

1

1

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备用题:

3)

? (1 ?
?x

dx
3

x) x

x ? t 6 dx ? 6t 5 dt
4)

1 1? x dx x
dx ? ? 2tdt (t ? 1) 2
2

1? x ?t x

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