重庆市第七中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(文)试题

发布于:2021-06-21 04:12:38

2014—2015 学年(下)期末考试 高 2017 级文科数学试题
考试说明:1.考试时间:120 分钟 2.试题总分:150 分 3.试卷页数:共 4 页
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在 出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的,把答案填 卡相应位置上) 1、已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的 A. a ? 3 ? b ? 3 B. ? 3a ? ?3b C. a ? b
2 2

每小题给 写在答题

是(



1 1 ? D. a b

2、在 100 个产品中有一等品 20 个,二等品 30 个,三等品 50 个,用分层抽样的方法抽取一个 容量为 20 的样本,则从二等品中应抽的个数是( A. 4 B. 6 C. 10 ) D. 20 )

3、设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1 , a3 ? 3 ,则 S 4 ? ( A. 8 B. 9 C. 10 D. 16

4、某校从高二理科甲、乙两个班各选出 7 名学生参加数学 竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如右图,


7 8 9


6 1 1 y 1 1 6

8 9 5 x 0 85 其中甲班学生成绩的*均分是 ,乙班学生成绩的中位数 6 2 是 83 ,则 x ? y 的值为( )
A. 6
2

B. 7

C. 8

D. 9 ) D. 4 ) D. 2

5、已知不等式 x ? x ? c ? 0 的解集为 (?2 ,1) ,则 c 的值为( A. ? 2 B. 1 C. 2 6、在等比数列 {a n } 中,若 a4 ? 1 , a7 ? 8 ,则公比 q ? ( A.

3 4

B.

3 2

C. 3

7、甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择 相同颜色运动服的概率为( A. ) C.

1 3

B.

2 3

1 6


D.

2 9

8、在 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 若c ?

2 , b ? 6 , B ? 120? ,则边 a 等于(

A.

6

B.

3

C.

2


D. 2

9、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 9 B. 16 C. 25

D. 36

? 10、在 △ ABC 中,已知 AB ? 4 3 , AC ? 4 , ?B ? 30 ,

则 △ ABC 的面积是( A. 4 3

) C.

B. 8 3

3

D. 4 3 或 8 3

11、设 P( x , y) 为函数 y ? x 2 ? 2 ( x ? 3) 图像上一动点, 记m ? A. 5

3x ? y ? 4 x ? 3 y ? 4 ,则 m 的最小值为( ? x ?1 y ?1
B. 6 C. 7

) D. 8

12、在数列 {a n } 中, a1 ? 2 , 2(an?1 ? 1)(an ? 1) ? an?1 ? an ? 0 (n ? N ? ) ,若 a n ? 则 n 的最小值为( A. 50 ) B. 51 C. 100 D. 101

201 , 199

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡相应位置上) 13、对 100 名学生的学*成绩进行统计,得到样本频率 直方图如图所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格 的人数是 .

?x ? y ? 0 ? 14、设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ?x ? 2 y ? 1 ?
则 z ? x ? 6 y 的最大值为 .

15、一只昆虫在边长分别为 6 , 8 , 10 的三角形区域内随机爬行,则它到三角形的顶点的距 离大于 2 的地方的概率为 .
2 2

16、在 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ? c ? 2b ,
且 sin A cos C ? 3 cos A sin C ,则 b ?

.

三.解答题(本大题共 70 分) 17、(本小题 12 分, (1)小问 6 分, (2)小问 6 分) 已知等差数列 {a n } 满足: a 4 ? 7 , a10 ? 19 ,其前 n 项和为 S n . (1)求数列 {a n } 的通项公式 a n 及 S n ; (2)若等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 b1 ? 2 , b4 ? S 4 ,求 Tn .

18、(本小题 12 分, (1)小问 8 分, (2)小问 4 分) 下表是某厂在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应 数据,根据此表提供的数据, (1)作出散点图,并求出回归直线方程; (2)根据⑴中求出的回归直线方程,预测生产 A 产 品 10 (吨)时相应的生产能耗为多少(吨)?

x y

1 1

2 3

3 5

4 6

? ? bx ? a , b ? (参考公式:公式组Ⅰ. y

S xy S
2 x

, S xy ?

x1 y1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n ? x? y, n

1 2 Sx ? [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n

?? ?x ? a ? ?b ? ,b 公式组Ⅱ. y

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y


?x
i ?1

2 i

? nx

2

19、(本小题 12 分, (1)小问 6 分, (2)小问 6 分)

对一批共 50 件的某产品进行分类检测,其质量(克)统计如下: 质量段 件数 [80,85) 5 [85,90) [90,95) 15 [95,100]

a

b

规定质量在 82 克及以下的为“ A ”型,质量在 85 克及以上的为“ B ”型,已知该批产品有 “ A ”型 2 件. (1)从该批产品中任选 1 件,求其为“ B ”型的概率; (2)从质量在 [80, 85) 的 5 件产品中,任选 2 件,求其中恰有 1 件为“ A ”型的概率. 20、(本小题 12 分, (1)小问 6 分, (2)小问 6 分) 在 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a sin A sin C ? c ? cos A ? 2a .
2

(1)求

sin C 的值; sin A 1 , b ? 2 ,求 △ ABC 的面积 S . 4

(2)若 cos B ?

21、(本小题 12 分, (1)小问 6 分, (2)小问 6 分) 设数列 {an } 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知 4S n ? an ? 2an .
2

(1)求 a1 及数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 ?bn ?前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

4 ? ,若 ?Tn ? n ? (?1) n ? 36对 n ? N 恒成立, a n a n?1

求实数 ? 的取值范围.

22、(本小题 10 分, (1)小问 5 分, (2)小问 5 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c ( x ? R , a ? 0) . (1)若 a ? ?1 , c ? 0 ,且 y ? f ( x) 在 [?2 , 4] 上的最大值为 g (b) ,求 g (b) ; (2)若 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 [?10, ? 2] 上不单调,且 f ( x) 的值域为 [0 , ? ?) ,求 最小值.

f (1) 的 b ? 2a

2014—2015 学年(下)期末考试 高 2017 级文科数学参考答案
一.选择题:ABACC;DACBD;DB 二.填空题: 13、 60 ; 三.解答题: 17、解: (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ,则 ? 解得: ? 14、 7 ; 15、 1 ?

?
12



16、 4

?a1 ? 3d ? 7 ,????3 分 ?a1 ? 9d ? 19

?a1 ? 1 2 ,???4 分 ∴ an ? 2n ? 1 , S n ? n ????6 分 ?d ? 2
y
5
4
? ? ?

(2)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,∵ b1 ? 2 , b4 ? S 4 ,∴ 2q 3 ? 16, ∴ q ? 2 ,????9 分 ∴ Tn ? 2
n?1

? 2 ????12 分

18、解: (1)作出散点图????2 分 ∵ x?

3
2

1 ? 1? 2 ? 3 ? 4 5 1 ? 3 ? 5 ? 6 15 ? ,y? ? ,???4 分 ? 1 o 1 4 2 4 4 ?1 4 x i yi ? 4 x y 1 ? 6 ? 15 ? 24 ? 4 ? 5 ? 15 ? 2 4 ? 1.7 ???6 分 b ? i ?1 ? 4 2 5 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? 4 ? ( ) 2 xi2 ? 4 x ? 2 i ?1 _ _ 15 5 ? 1.7 ? ? ?0.5 ,????7 分 ∴ a ? y? b x ? 4 2

2

3

4

5

x

∴回归直线方程 y ? 1.7 x ? 0.5 ????8 分 (2) x ? 10 时, y ? 16.5 , ∴生产 A 产品 10 (吨)时相应的生产能耗为 16.5 (吨) 。????12 分 19、解: (1)设“从该批产品中任选 1 件,其为” B ”型为事件 A1 , 则 P( A1 ) ?

50 ? 5 9 ? , 50 10

所以从该批产品中任选 1 件,其为“ B ”型的概率为

9 .????6 分 10

(2)设“从质量在 [80, 85) 的 5 件产品中,任选 2 件产品,求其中恰有 1 件为“ A ”型为事件

A2 ,记这 5 件产品分别为 a , b , c , d , e ,其中“ A ”型为 a , b ,从中任选 2 件,所有可能的情
况为 ab , ac , ad , ae, bc , bd , be, cd , ce , de 共 10 种. 其中恰有 1 件为“ A ”型的情况有 ac , ad , ae, bc , bd , be, 共 6 种.

6 3 ? .所以从质量在 [80, 85) 的 5 件产品中,任选 2 件产品,其中恰有1 件为 10 5 3 “ A ”型的概率为 .????12 分 5
所以 P ( A2 ) ?

20、解: (1)∵ a sin A sin C ? c ? cos2 A ? 2a ,又

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

∴ 2R sin 2 A sin C ? 2R sin C cos2 A ? 2 ? 2R sin A ,????3 分 ∴ sin C ? 2 sin A ,∴ (2)由

sin C ? 2 ????6 分 sin A

sin C 1 ? 2 ,得 c ? 2a ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,且 cos B ? , b ? 2 , sin A 4 1 2 2 2 得 4 ? a ? 4a ? 4a ? ,∴ a ? 1 , c ? 2 ,????10 分 4 1 15 1 15 ∵ cos B ? ,且 0 ? B ? ? ,∴ sin B ? ,∴ S ? ac sin B ? ????12 分 4 4 2 4 2 21、解: (1)∵ 4S n ? an ? 2an ,且 an ? 0 ,
2 当 n ? 1 时, 4a1 ? a1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 .????1 分
2 当 n ? 2 时,有 4S n?1 ? an ?1 ? 2an?1 . 2 2 2 2 于是 4S n ? 4S n?1 ? an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 .
2 2 于是 an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) .

∵ an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2(n ? 2) . 故数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列,∴ an ? 2n .????6 分

1 1 1 ? ? , n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 n ) ? 1? ? ∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? .????9 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 (n ? 36)( n ? 1) (n ? 36)( n ? 1) 36 ?n? ? 37 ? 49 , ①当 n 为偶数时, ? ? 恒成立,又 n n n
(2)∵ bn ? 当 n ? 6 时取等号;∴ ? ? 49

(n ? 36 )( n ? 1) (n ? 36 )( n ? 1) 36 ?n? ? 35 , 恒成立,又 n n n 36 36 ? ? 35) min ? ?70 ;∴ ? ? ?70 ∵n ? 在 n ? N 为增函数, (n ? n n
②当 n 为奇数时, ? ? 综上: ? 的取值范围为 ? ? ?70 ????12 分 22、解: (1) a ? ?1 , c ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2bx ,∴对称轴是直线 x ? b ,??1 分 ① b ? ?2 时, f ( x) max ? f (?2) ? ?4 ? 4b ②当 ? 2 ? b ? 4 时, f ( x) max ? f (b) ? b 2 ③当 b ? 4 时, f ( x) max ? f (4) ? ?16 ? 8b

?? 4 ? 4b (b ? ?2) ? 2 综上所述, g (b) ? ?b (?2 ? b ? 4) ; ????5 分 ?? 16 ? 8b (b ? 4) ?
(2)∵ f ( x) 的值域为 [0 , ? ?) ,且 a ? 0 ,

c b ? ( ) 2 ,???6 分 a a 2b b ? ? ? (?10 , ? 2) , ∵ f ( x) 在 [?10, ? 2] 上不单调,∴对称轴 x ? ? 2a a b ∴ ? ( 2 ,10 ) ????7 分 a 2b c 2b b 2 1? ? 1? ?( ) f (1) a ? 2b ? c a a ? a a ,设 b ? 2 ? t ? (0 , 8) , ? ? b b a b ? 2a b ? 2a ?2 ?2 a a 2 f (1) 1 ? 2(t ? 2) ? (t ? 2) 9 ? ? t ? ? 6 ? 12 ,当且仅当 t ? 3 ? (0 , 8) 时取等号, ∴ b ? 2a t t f (1) ] min ? 12 .???10 分 ∴[ b ? 2a
∴ ? ? (2b) 2 ? 4ac ? 0 ,∴


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