自动控制理论例题集锦-第8章

发布于:2021-10-27 16:33:16

第8章
数分别为 (1) G1 ( s ) =

非线性控制系统分析

例 1 设三个非线性系统具有相同的非线性环节,而线性部分各不相同,它们的传递函

2 s(0.1s + 1) 2 s( s + 1) 2(1.5s + 1) s ( s + 1)(0.1s + 1)

(2) G 2 ( s ) =

(3) G3 ( s ) =

试判断应用描述函数法分析非线性系统稳定性时,那个系统的分析准确度高。 解: 线性部分的惯性越大或阶次越高, 低通滤波性能就越好。 因为系统 2 的惯性环节时间常 数大于系统 1,故系统 2 较系统 1 的低通滤波性能要好;系统 3 虽然阶次高于系统 2,但其 同时含有一个时间常数为 1.5 的一阶微分环节,故其低通滤波性能较系统 2 差。应用描述函 数法分析非线性系统稳定性时,系统 2 的分析准确度最高。 例 2 设某非线性系统的结构图如图 8-1 所示, 试应用描述函数法分析该系统的稳定性。 为使系统稳定,继电器参数 a、b 应如何调整。

r=0
-

e

b
0

a

2 s (0.5s + 1)(s + 1)

c

图 8-1

解: 非线性特性的描述函数为:

N ( A) =
其负倒描述函数为

4b a 1 ,A≥a πA A

2



1 π A2 = N ( A) 4b A 2 a 2

2

当 A → a 时,

1 1 1 必存在极值。 → ∞;当 A → ∞时, → ∞; N ( A) N ( A) N ( A)



1 d N ( A) A 3 2 Aa 2 = π =0 dA 4b ( A 2 a 2 ) A 2 a 2 A = 2a , 1 N ( A) =
A = 2a



πa 2b

系统线性部分的频率特性为

G ( jω ) =

2 2 × 1.5 2(1 0.5ω 2 ) = + j 2 2 jω ( j 0.5ω + 1)( jω + 1) (1 + 0.25ω )(1 + ω ) ω (1 + 0.25ω 2 )(1 + ω 2 ) Im G ( jω ) = 2(1 0.5ω 2 ) =0 ω (1 + 0.25ω 2 )(1 + ω 2 )



得 ω = 2 ,则 G ( jω ) 与负实轴的交点

Re G ( jω ) ω =

2

=

2 × 1 .5 (1 + 0.25ω 2 )(1 + ω 2 ) ω =

=
2

2 3

概略画出线性部分的幅相特性曲线 G ( jω ) 和

1 曲线,如图 8-2 所示。 N ( A)

j
1 N ( A) πa 2b G ( jω )
O

图 8-2

由图 8-2 可见,要使系统稳定,则 G ( jω ) 和

1 曲线不相交。即有 N ( A)



πa 2 < 2b 3



a 4 > b 3π
例 3 某非线性系统结构图如图 8-3 所示。其中继电特性的描述函数为 的传递函数为

4 ,线性部分 πA

G(s) =

K s (5s + 1)(10s + 1) 1 时的放大系数 K 与振荡频率 π

试确定系统的稳定性,并求出当极限环振荡的幅值 A =

ω 的数值。
r=0
1 0 -1

e

G (s )

c

图 8-3

解: 非线性特性的描述函数为

N ( A) =
其负倒描述函数为

4 +1 πA



1 πA = N ( A) π A+ 4



1 1 1 在负实轴上,当 A → ∞时, 为负实轴上[-1,0]段。 → 1 ,即 N ( A) N ( A) N ( A)

系统线性部分的频率特性为

G ( jω ) =

K 15K K (1 50ω 2 ) = + j jω ( j 5ω + 1)( j10ω + 1) (1 + 25ω 2 )(1 + 100ω 2 ) ω (1 + 25ω 2 )(1 + 100ω 2 )



Im G ( jω ) =

K (1 50ω 2 ) =0 ω (1 + 25ω 2 )(1 + 100ω 2 )

得 ω = 0.14 ,则 G ( jω ) 与负实轴的交点

Re G ( jω ) ω = 0.14 =

15 K 10 = K 2 2 (1 + 25ω )(1 + 100ω ) ω =0.14 3
1 曲线,如图 8-4 所示。 N ( A)

概略画出线性部分的幅相特性曲线 G ( jω ) 和

j

-1

2 K

0

图 8-4

由图 8-4 可见,当 K > 0.3 时, G ( jω ) 包围

1 曲线,系统不稳定;当 K < 0.3 时, N ( A)

G ( jω ) 和

1 1 曲线相交,且沿着振幅 A 增加的方向 是由不稳定区域进入稳定区 N ( A) N ( A)

域时,则该交点是稳定的周期运动,是自振点。 当极限环振荡的幅值 A =

1 1 πA 1 时, = = π N ( A) πA+4 5 10 K 1 = 3 5 K = 0.06

当极限环振荡的幅值 A =

1 时的放大系数 K = 0.06 、振荡频率 ω = 0.14 。 π

例 4 图 8-5 为一非线性系统结构图,试绘制 h = 0 和 h = 1 时 e e *面上的相轨迹。
1

r=0
-

e

-h
0 h -1

u

1 s2

c

图 8-4 解: (1)由图 8-4,有

c =u
因为 e = c ,当 h = 0 时,非线性为理想继电特性,故可得系统分段线性微分方程式为

e = 1 , e =1 ,
开关线方程 e = 0 将相*面分成两个区域。

e>0 e<0

e > 0 区域:
相轨迹微分方程为

d e 1 = de e
该区域没有奇点。将 e = e de 带入上式,并积分可得 de
e 2 = 2e + A
式中 A 由初始条件决定。可见该区域相轨迹为开口向左的抛物线,与横轴交于 A / 2 。

e < 0 区域:同样可导出相轨迹方程为 e 2 = 2e + A
式中 A 由初始条件决定。可见该区域相轨迹为开口向右的抛物线,与横轴交于 A / 2 。 绘制相轨迹如图 8-5 所示。由图可见,当 h = 0 时,在任何初始条件下,相轨迹都由开口向 左和开口向右的两段抛物线组成,形成一簇封闭的曲线,即极限环。在不同初始条件下,系 统以不同的幅值和频率振荡。
e

A 2

O

e

A 2

图 8-5

(2)当 h = 1 时,非线性为有滞环的继电特性,系统分段线性微分方程式为

= 1 , e
e =1 ,

e > 0, e > 1 或 e < 0, e > 1 e > 0, e < 1 或 e < 0, e < 1

可见,开关线 e = 1 和 e = 1 将相*面分成两个区域。

e > 0, e > 1 和 e < 0, e > 1 区域:

相轨迹微分方程为

d e 1 = e e 该区域没有奇点。将 e = e de 带入上式,并积分可得 de
e 2 = 2e + A
式中 A 由初始条件决定。可见该区域相轨迹为开口向左的抛物线。

e > 0, e < 1 和 e < 0, e < 1 区域:同样可导出相轨迹方程为 e 2 = 2e + A
式中 A 由初始条件决定。可见该区域相轨迹为开口向右的抛物线。绘制相轨迹如图 8-6 所示。当 h = 1 时,相轨迹由开口向左和开口向右的两段抛物线组成,在**面, e = 1 为 开关线,在下半*面, e = 1 为开关线,由图可见相轨迹为向外发散形式。滞环特性恶化了 系统的品质,使系统处于不稳定状态。
e

-1

O

1

e

图 8-6

例 5 某系统的状态方程为

0 1 0 x= x + 1u 2 1 1 试画出系统 u = 0 ,初始状态 x (0) = 的相轨迹大致形状。 2
解: 由系统的状态方程有

x1 = x 2 x 2 = 2 x1 + x 2


1 x1 + 2 x1 = 0 x

系统为二阶线性系统。系统的特征方程为

s2 s + 2 = 0
解得

s1, 2 =

1± j 7 2

可见特征根为具有正实部的共轭复根,相轨迹为离心螺旋线。图 8-7 概略绘制了系统初 始状态为(1,-2)时的相轨迹图。
x1 ( x2 )

0 (1,-2)

x1

图 8-7

例 6 已知某线性二阶系统在单位阶跃信号作用下的相轨迹如图 8-8 所示。试画出对应 的过渡过程曲线, 并确定其传递函数。 已知相*面图上 (1.164,0) 的点所对应的时间为 3.63s。

x

x
1.164 (1.164,0) 1

0

1

x

3.63

t

图 8-8

图 8-9

解: 根 据相轨 迹,绘制 出对应 的过渡 过程曲线 如图 8-9 所 示。可 见响应 的超 调量为

σ % = 16.4% ,峰值时间 t p = 3.63 s。根据线性二阶系统性能指标计算公式,有

σ % = e πζ
tp =
解得

1 ζ 2

× 100% = 16.4%

π

ωn 1 ζ 2 ζ = 0 .5
ωn = 1

= 3.63

因此线性二阶系统的传递函数为

Φ (s) =

ω n2 1 = 2 2 2 s + 2ζω n s + ω n s + s + 1

例 7 已知非线性环节的特性如图 8-10 所示,试计算该环节的描述函数。
y K M x y K M
O

y

π
0



ωt

M K
0

x

x π 2π

M
K

ωt
图 8-10

解: 设输入 x(t ) = A sin ωt 。画出非线性特性在正弦输入下的输出波形,如图 8-10 所示。其 输 入输出的数学关系式为

y (t ) = Kx + M = KA sin ωt + M y (t ) = Kx M = KA sin ωt M

(0 < ωt < π) (π < ωt < 2 π)

输出 y (t ) 是一周期函数,由于是奇函数,故有 A1 = 0 。有

B1 =

1 2π 4 ∫ 0 y (t ) sin ωt d(ωt ) = π ∫ 02 [KA sin ωt + M ]sin ωt d(ωt ) π π π 4 4 = ∫ 2 KA sin 2 ωt d(ωt ) + ∫ 2 M sin ωt d(ωt ) π 0 π 0

π

=

4 KA 2 1 1 4M ∫ 0 2 2 cos 2ωt d(ωt ) + π π
π π



π
2 0

sin ωt d(ωt )

π 4 KA 1 4M 2 4M 2 = ωt 2 sin 2ωt + π [ cos ωt ] 0 = KA + π π 0

根据描述函数的表达式,有

N ( A) =

B1 A B 4M + j 1 = 1 =K+ A A A πA

例 8 某非线性系统如图 8-11 所示。

r=0

b



a

320 s ( s + 4)( s + 8)

c

图 8-11

其中,滞环继电特性的描述函数为

N ( A) =

4b jα e πA
a A

( A > a)

α = sin 1

A 为非线形元件输入正弦的幅值。
1. 画出

a = 0.5 。求: b

1 的图像。 N ( A)

2. 分析系统的稳定性,如存在自持振荡,请计算频率与振幅。 3. 当 b 值不变, a 值加大时系统有何特点? 解: 1. 非线性特性的描述函数为

N ( A) =
其负倒描述函数为

4b jα e πA

( A > a)

1 π A jα = e N ( A) 4b π = A2 a 2 4b
可见

πA (cos α + j sin α ) 4b πa π π j = A2 a 2 j 4b 4b 8 =

π 1 曲线是*行于实轴、与实轴距离为 的直线。 N ( A) 8

系统线性部分的频率特性为

G ( jω ) =

320 320 × [12ω j (32 ω 2 )] = jω ( jω + 4)( jω + 8) ω (ω 2 + 16)(ω 2 + 64)

概略画出线性部分的幅相特性曲线 G ( jω ) 和

1 曲线,如图 8-12 所示。 N ( A)

j

O

1 N ( A) G ( jω )



π 8

图 8-12

2. 当幅相特性曲线 G ( jω ) 和

1 曲线相交时,有 N ( A) 320(32 ω 2 ) π = 2 2 ω (ω + 16)(ω + 64) 8

Im G ( jω ) =
得 ω = 4 .2 。

Re G ( jω ) =

320 × 12 π = 1.39 = A2 a 2 2 (ω + 16)(ω + 64) ω = 4.2 4b
2

A = a 2 + 3.13b 2 = 3.68a
3. 由图 8-12 及 2 的计算知,当 b 值不变、 a 值加大时,

1 曲线向下*移,故与 N ( A)

G ( jω ) 的交点下移,即振荡频率降低,幅值增大。

例 9 某非线性系统的相*面 ( x, x) 如图 8-13 所示, 其中给出了一条根轨迹 abcdefa, 它
对应于一个周期运动。设各点的坐标分别为: (2,0)(1.1,-1.5) (–1.5,–1.5) (–3,0) , , , , (–1.5,1.5)(1.1,1.5) , ,fab 和 edc 均为圆心在实轴的圆弧,试求周期运动的周期。
x

e
-3

f
(a,0)
0 2

d c

θ
b

a

x

图 8-13

解: 求各段运动所需要的时间。

a→b 段:设该段圆弧半径为 R1 ,圆心在 (a,0) 。由图 8-13 可知:

在 b 点: x = R1 cos θ + a,x = R1 sin θ 。

在任意圆弧段 AB ,根据 x = tB tA = ∫
xB xA

dx ,有 dt

1 dx=∫ x

θB θA

R1 sin θ d θ = θ A θ B = θ AB R1 sin θ

可见, 圆弧段的运动时间等于该段圆弧所对应的中心角用弧度来度量的数值。 故需求出 图 8-13 中 ab 段所对应的的中心角 θ 角。

2 1 .1 = 0 .9
所以 解得

( R1 0.9) 2 + 1.5 2 = R12 R1 = 1.7 tan θ = 1 .5 1.7 0.9

t ab = θ = 1.08 s。

b→c 段: x = 1.5 ,其运动方程为
x = 1.5t + 1.1 x c = 1.5t bc + 1.1 = 1.5 t bc =
c→d 段: t cd = θ cd =

2.6 = 2.36 s 1 .1

π = 1.57 s 2
t ad = t ab + t bc + t cd = 1.08 + 2.36 + 1.57 = 5.01s

所以运动的周期为

T = 2t ad = 10.02 s


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