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【真题】2016年北京市高考数学试卷(理科)

---文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--文库出品-必属精品--- 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷) 第Ⅰ部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. (1)已知集合 A?{x| | x |? 2}, B ? ??1,0,1,2,3?,则 A I B ? ( ) (A)?0,1? (B)?0,1,2? (C)??1,0,1? (D)??1,0,1,2? ?2x ? y≤0, (2)若 x ,y 满足 ? ? x ? y≤3, 则 2x ? y 的最大值为( ) ?? x≥0, (A)0 (B)3 (C)4 (D)5 (3)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为1, 则输出的 k 值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)设 a,b 是向量.则“| a | ?| b | ”是“| a ? b |?| a ? b | ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 x,y ? R ,且 x ? y ? 0 ,则( ) (A) 1 ? 1 ? 0 xy (B) sin x ? sin y ? 0 (C) ? ?? 1 2 ?x ?? ? ? ?? 1 2 ?y ?? ? 0 (D) ln x ? ln y ? 0 (6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) (A) 1 6 (B) 1 3 (C) 1 2 (D)1 正(主)视图 1 1 1 1 侧(左)视图 俯视图 (7)将函数 y ? sin(2x ? ?) 图象上的点 P( ? , t) 向左平移 s (s ? 0) 个单位长度得到点 P? .若 P? 位于函数 3 4 y ?sin 2x 的图象上,则( ) (A) t ? 1 , s 的最小值为 ? 2 6 (B) t ? 3 , s 的最小值为 ? 2 6 (C) t ? 1 , s 的最小值为 ? 2 3 (D) t ? 3 , s 的最小值为 ? 2 3 (8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意 取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入 丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) (A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第Ⅱ部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ( 9 ) 设 a?R ,若复数 (1? i)(a ? i) 在复平面内对应的点位于实轴上,则 a ? . (10)在 (1? 2x)6 的展开式中, x2 的系数为 .(用数字作答) (11)在极坐标系中,直线 ? cos? ? 3? sin? ?1? 0 与圆 ? ? 2 cos? 交于 A, B 两点,则 | AB| ? . (12)已知{an} 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? 6 , a3 ? a5 ? 0 ,则 S6 ? . (13)双曲线 x a 2 2 ? y2 b2 ? 1?a ? 0,b ? 0? 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA ,OC 所在的直线,点 B 为 该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2 ,则 a ? . (14)设函数 f (x) ? ?x3 ? ? 3x, x≤a, ??2x, x ? a. ① 若 a ? 0 ,则 f (x) 的最大值为 ; ② 若 f (x) 无最大值,则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题 13 分) 在 ?ABC 中, a2 ? c2 ? b2 ? 2ac . (Ⅰ)求 ?B 的大小; (Ⅱ)求 2 cos A ? cos C 的最大值. (16)(本小题 13 分) A,B,C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一 周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时): A 组 6 6.5 7 7.5 8 B组 6 7 8 9 10 11 12 C 组 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (Ⅰ)试估计 C 班的学生人数; (Ⅱ)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为 乙,假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (Ⅲ)再从 A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单 位:小时).这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ?1 ,表格中数据的平均 数记为 ?0 ,试判断 ?0 和 ?1 的大小.(结论不要求证明) (17)(本小题 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , PA ? PD,PA ? PD ,AB ? AD ,AB ?1 ,AD ? 2 ,AC ?CD ? 5 . P (Ⅰ)求证: PD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 PA上是否存在点 M ,使得 BM∥平面 PCD ?若存 D 在,求 AM 的值;若不存在,说明理由. AP C A B (18)(本小题 13 分) 设函数 f (x) ?



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